Question

Приведите квадратичную форму x²+7y²+4z²-4xy+6yz к каноническому виду методом лагранжа

Answer 1

X² - 4xy + 7y² + 4z² + 6yz = (x² - 4xy + 4y²) - 4y² + 7y² + 4z² + 6yz = 

= (x - 2y)² + 3y² + 6yz + 4z² = (x-2y)² + 3(y² + 2yz + z²) - 3z² + 4z² = 

= (x - 2y)² + 3(y + z)² + z²

x₁ = x - 2y
x₂ = y + z
x₃ = z

Канонический вид:

x₁² + 3x₂² + x₃²

Answer 2

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду с использованием метода Лагранжа, следует выполнить следующие шаги:

1. Запишем исходную квадратичную форму:

   Q(x, y, z) = x² + 7y² + 4z² - 4xy + 6yz

2. Введем новые переменные u, v и w и выразим x, y и z через них:

   x = u + av + bw y = v z = w

   Где a, b, u, v и w - это коэффициенты и новые переменные, которые мы хотим найти.

3. Теперь запишем квадратичную форму Q(x, y, z) с использованием новых переменных:

   Q(u, v, w) = (u + av + bw)² + 7v² + 4w² - 4(u + av + bw)v + 6vw

4. Далее, мы хотим найти значения a, b, u, v и w, которые минимизируют Q(u, v, w). Для этого воспользуемся методом Лагранжа и введем множители Лагранжа для каждого ограничения. Наша цель - найти экстремум Q(u, v, w) при условии, что длины векторов (a, b), (u, v, w) и (1, 0, 0) равны 1:

   L(u, v, w, a, b, λ1, λ2, λ3) = (u + av + bw)² + 7v² + 4w² - 4(u + av + bw)v + 6vw + λ1(1 - a² - b²) + λ2(1 - u² - v² - w²) + λ3(1 - a²)

5. Теперь найдем частные производные L по каждой переменной и приравняем их к нулю:

   ∂L/∂u = 2(u + av + bw - v) - 2λ2u = 0 ∂L/∂v = 14v - 4(u + av + bw) - 4λ1v - 2λ2v = 0 ∂L/∂w = 8w - 4(u + av + bw) - 2λ2w = 0 ∂L/∂a = 2(u + av + bw) - 2λ1a - 2λ3a = 0 ∂L/∂b = 2(u + av + bw) - 2λ1b = 0 ∂L/∂λ1 = 1 - a² - b² = 0 ∂L/∂λ2 = 1 - u² - v² - w² = 0 ∂L/∂λ3 = 1 - a² = 0

6. Решим эту систему уравнений для a, b, u, v, w и λ1, λ2, λ3.

7. Подставим полученные значения a, b, u, v и w обратно в исходную квадратичную форму Q(x, y, z), и она будет приведена к каноническому виду.

Это достаточно сложный процесс, и его решение может быть довольно объемным. Чтобы получить точные числовые значения для a, b, u, v, w и канонической формы, потребуется решить систему уравнений методом численных вычислений или при помощи специализированного программного обеспечения.