Question

Очень прошу помочь! Срочно! Методом Лагранжа привести квадратичную форму f(X1,x2)=3x1^2-x2^2+4x1x2 к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат) Помогите пожалуйста

Answer 1

1)Выделим полный квадрат (2x21+5x22+4x1x2=2(x1+2x1x2)+5x22=(2x12+5x22+4x1x2=2(x1+2x1x2)+5x22= =(2(x1+x2)2+3x22=2y21+3y22=(2(x1+x2)2+3x22=2y12+3y22, преобразование y1=x1+x2;y2=x2y1=x1+x2;y2=x2, выразим старые переменные через новые x1=y1−y2;x2=y2x1=y1−y2;x2=y2. Матрица преобразования (1-я строка) (1;−1)(1;−1), вторая (0;1)(0;1). 
2)Запишите матрицу: 1-я строка (2;−2;2)(2;−2;2), 2-я строка (−2;0;−4)(−2;0;−4), 3-я строка (2;−4;−3)(2;−4;−3). Посчитайте главные миноры Δ1=2,Δ2=−4,Δ3=12Δ1=2,Δ2=−4,Δ3=12, посчитайте Δi+1Δi,Δ0=1Δi+1Δi,Δ0=1, получите 2y21−2y22−3y232y12−2y22−3y32. Знаки - понятно.

Answer 2

Конечно, я могу помочь с преобразованием квадратичной формы методом Лагранжа к каноническому виду.

Для начала, у нас есть квадратичная форма:

\[ f(x_1, x_2) = 3x_1^2 - x_2^2 + 4x_1x_2 \]

Чтобы привести эту форму к каноническому виду, мы можем использовать метод Лагранжа, который основан на преобразовании координат.

Канонический вид квадратичной формы имеет следующий вид:

\[ f(x_1', x_2') = \lambda_1{x_1'}^2 + \lambda_2{x_2'}^2 \]

где \( \lambda_1 \) и \( \lambda_2 \) - собственные значения матрицы квадратичной формы.

Шаги преобразования:

1. Выразим квадратичную форму в матричной форме. Матрица будет иметь вид:

\[ \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \]

2. Составим матрицу квадратичной формы:

\[ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \]

3. Найдем собственные значения матрицы \( A \). Это можно сделать, найдя корни характеристического уравнения:

\[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \]

Где \( I \) - единичная матрица, \( \lambda \) - собственное значение.

4. Найдем собственные значения \( \lambda_1 \) и \( \lambda_2 \) и соответствующие собственные векторы.

5. Новая система координат будет образована собственными векторами, а канонический вид квадратичной формы будет выражен через них.

Собственные значения для матрицы \( A \) вычисляются так:

\[ \text{det}(A - \lambda I) = \text{det}\left(\begin{bmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 2 & -1-\lambda \end{bmatrix}\right) = 0 \]

Решив это уравнение, найдем собственные значения \( \lambda_1 \) и \( \lambda_2 \). После этого найдем собственные векторы и используем их для преобразования координат.

Какой-то из этих шагов вызывает у вас затруднения?