Question

9x²+5y²+2z²+6xy+6xz-2yz привести к каноническому виду методом лагранжа

Answer 1

9x² + 5y² + 2z² + 6xy + 6xz - 2yz = 

= (9x² + 6xy + 6xz) + 5y² + 2z² - 2yz = 

= (9x² + 2 * 3x * (y + z) + (y+z)²) - (y+z)² + 5y² + 2z² - 2yz = 

= (3x + y + z)² - y² - 2yz - z² + 5y² + 2z² - 2yz = 

= (3x + y + z)² + 4y² + z² - 4yz = 

= (3x + y + z)² + (2y + z)² 

x₁ = 3x + y + z
x₂ = 2y + z

x₁² + x₂² = 0 - канонический вид

Answer 2

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа, нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать данную квадратичную форму в матричной форме. Это можно сделать, представив все переменные (x, y, z) в виде вектора X и коэффициенты перед каждой переменной в виде матрицы A:

   X = [x, y, z]

   A = [[9, 3, 3], [3, 5, -1], [3, -1, 2]]

   Здесь мы записали все коэффициенты перед переменными x, y и z в матрицу A.

2. Создать матрицу Лагранжа (L), которая будет выглядеть следующим образом:

   L = A - λI

   Где λ - это множитель Лагранжа, а I - единичная матрица. В данном случае I будет выглядеть так:

   I = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

3. Найти собственные значения матрицы L, решив уравнение det(L - λI) = 0. Это уравнение будет иметь вид:

   det(L - λI) = 0 det([[9-λ, 3, 3], [3, 5-λ, -1], [3, -1, 2-λ]]) = 0

4. Решить уравнение для λ и найти его собственные значения.

5. Каждое собственное значение будет соответствовать одному из канонических видов квадратичной формы. Как правило, их будет три: одномерная, двумерная и трехмерная.

6. После нахождения собственных значений можно получить канонические формы, подставив их вместо λ в матрицу L и получив квадратичные формы для каждого из канонических видов.

Итак, вам нужно решить уравнение для λ и найти его собственные значения. В зависимости от найденных собственных значений, вы сможете определить канонические формы данной квадратичной формы.