Question

X²+5y²-4z²+2xy-4xz привести к каноническому виду методом лагранжа

Answer 1

X² + 5y² - 4z² + 2xy - 4xz = 

= (x² + 2xy - 4xz) + 5y² - 4z² = 

= (x² + 2 * x * (y - 2z) + (y-2z)²) - (y-2z)² + 5y² - 4z² = 

= (x + y - 2z)² - y² - 4z² + 4yz + 5y² - 4z² = 

= (x + y - 2z)² + 4y² + 4yz - 8z² = 

= (x + y - 2z)² + (4y² + 2 * 2y * z + z²) - z² - 8z² = 

= (x + y - 2x)² + (2y + z)² - 9z²

x₁ = x + y - 2x
x₂ = 2y + z
x₃ = 3z

x₁² + x₂² - x₃² = 0 -канонический вид

Answer 2

Для приведения данной квадратичной формы к каноническому виду с использованием метода Лагранжа, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать квадратичную форму.
2. Составить функцию Лагранжа, включив множители Лагранжа для переменных x, y и z.
3. Рассчитать частные производные функции Лагранжа по переменным x, y и z и приравнять их к нулю.
4. Решить полученную систему уравнений для нахождения значений x, y и z.
5. Подставить найденные значения переменных x, y и z в исходную квадратичную форму, чтобы получить канонический вид.

Давайте выполним эти шаги:

1. Записываем квадратичную форму: Q(x, y, z) = x² + 5y² - 4z² + 2xy - 4xz

2. Функция Лагранжа: L(x, y, z, λ) = x² + 5y² - 4z² + 2xy - 4xz + λ(x² + 5y² - 4z²)

3. Рассчитываем частные производные функции Лагранжа и приравниваем их к нулю:

∂L/∂x = 2x + 2y - 4z + 2λx = 0 ∂L/∂y = 10y + 2λy = 0 ∂L/∂z = -8z - 4x - 8λz = 0 ∂L/∂λ = x² + 5y² - 4z² = 0

4. Решаем систему уравнений для x, y, z и λ:

Из ∂L/∂y = 10y + 2λy = 0, получаем: y(10 + 2λ) = 0 Так как y ≠ 0, то 10 + 2λ = 0 => λ = -5.

Теперь, подставим значение λ в другие уравнения: Из ∂L/∂x = 2x + 2y - 4z + 2λx = 0, получаем: 2x + 2y - 4z - 10x = 0 -8x + 2y - 4z = 0 -4x + y - 2z = 0

Из ∂L/∂z = -8z - 4x - 8λz = 0, получаем: -8z - 4x + 40z = 0 32z - 4x = 0 8z - x = 0

Теперь решим систему уравнений: 32z - 4(8z) = 0 0 = 0 (Это уравнение уже выполнено, поэтому оно не дает дополнительной информации).

Таким образом, у нас есть один независимый уравнение: 8z - x = 0, из которого можно выразить x через z: x = 8z.

Теперь, используем уравнение ∂L/∂λ = x² + 5y² - 4z² = 0 и подставим выражение для x: (8z)² + 5y² - 4z² = 0 64z² + 5y² - 4z² = 0 60z² + 5y² = 0.

Так как у нас нет дополнительных уравнений, в которых участвуют и y, и z, то это может быть выполнено только тогда, когда оба члена равны нулю: 60z² = 0 z² = 0 z = 0.

Теперь, используем значение z и найдем x и y: x = 8z = 8 * 0 = 0, y(10 + 2λ) = 0, но λ = -5, следовательно, y(10 - 10) = 0, y * 0 = 0, поэтому y может быть любым числом.

5. Подставляем полученные значения x, y и z в исходную квадратичную форму:

Q(x, y, z) = x² + 5y² - 4z² + 2xy - 4xz Q(0, y, 0) = 0 + 5y² - 0 + 2 * 0 * y - 4 * 0 * 0 Q(0, y, 0) = 5y².

Таким образом, канонический вид данной квадратичной формы методом Лагранжа: 5y².