Question

Найти точку минимума y=ln(14x)-14x+8 На промежутке [1/28;5/28]

Answer 1

Найти точку минимума y=ln(14x)-14x+8 На промежутке [1/28;5/28] 

Решение
Область определения функции х>0.
Найдем производную функции
y' = (ln(14x)-14x+8)' =(ln(14x)' -(14x)' +8' = (1/(14x))*(14x)' -14 =         
    = (1/(14x))*14 - 14 = 1/x -14 = (1 - 14x)/x
Найдем критические точки приравняв производную к нулю
                    y' = 0
            (1 - 14x)/x = 0
               1 -  14x = 0
                        x = 1/14
Точка х =1/14 входит в исследуемый промежуток [1/28;5/28]
На числовой прямой отображаем эту точку и знаки производной полученной по методу подстановки. Например при х =1 производная 
y'(1) =(1-14*1)/1 =-13<0
        +              0                -
---------------------!---------------------
                       1/14
Функция возрастает на интервале (0;1/14)
Функция убывает на интервале (1/14;+oo)
В точке х=1/14 функция имеет локальный максимум.
Найдем значения функции на границах исследуемого отрезка
х=1/28
y(1/28) = ln(14*1/28) - 14*1/28 + 8 = ln(1/2) - 1/2 + 8 = 7,5 - ln(2) ≈ 6,807
х=5/28
y(5/28) = ln(14*5/28) - 14*5/28 + 8 = ln(5/2) - 5/2 + 8 = 5,5 + ln(2,5) ≈ 6,416

Поэтому функция y=ln(14x)-14x+8 на промежутке [1/28;5/28] имеет минимальное значение в точке х =5/28   y(5/28) = 5,5 + ln(2,5) ≈ 4,416

Ответ:ymin = 5,5 + ln(2,5) ≈ 6,416

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции $y = \ln(14x) - 14x + 8$ на заданном промежутке $[1/28, 5/28]$, нам нужно найти производную этой функции и найти её нули в этом интервале. Минимум функции будет соответствовать точке, где производная меняет знак с отрицательного на положительный.

1. Начнем с нахождения производной $y$ по $x$:

$y'(x) = \frac{d}{dx} (\ln(14x) - 14x + 8)$

Для нахождения производной $\ln(14x)$, мы можем использовать цепное правило (chain rule):

$y'(x) = \frac{1}{14x} \cdot 14 - 14 = \frac{1}{x} - 14$

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

$\frac{1}{x} - 14 = 0$

$\frac{1}{x} = 14$

$x = \frac{1}{14}$

3. Теперь проверим знаки производной слева и справа от $x = \frac{1}{14}$. Подставим значения из интервала $[1/28, 5/28]$:

• Если $x < \frac{1}{14}$, то $\frac{1}{x} - 14$ будет положительным.
• Если $x > \frac{1}{14}$, то $\frac{1}{x} - 14$ будет отрицательным.

Таким образом, производная меняет знак с отрицательного на положительный при $x = \frac{1}{14}$, и это соответствует точке минимума функции $y$ на заданном интервале.

Теперь, чтобы найти значение $y$ в точке минимума, подставим $x = \frac{1}{14}$ обратно в исходное уравнение:

$y = \ln(14 \cdot \frac{1}{14}) - 14 \cdot \frac{1}{14} + 8$ $y = \ln(1) - 1 + 8$ $y = 0 - 1 + 8$ $y = 7$

Таким образом, точка минимума функции $y$ на интервале $[1/28, 5/28]$ равна $(1/14, 7)$.