Question

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, вычислить определенный интеграл. С подробным решением. pi/4 интеграл 0 ( x^2)*cos(2*x)*dx Спасибо!

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Добрый вечер! Конечно, я помогу вам вычислить данный определенный интеграл. Давайте начнем с вычисления этого интеграла шаг за шагом.

Интеграл, который вы хотите вычислить, выглядит следующим образом:

∫[0, π/4] x^2 * cos(2x) dx

Для вычисления этого интеграла мы будем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и dv - это две функции, которые мы выбираем для интегрирования. В этом случае, давайте выберем:

u = x^2 => du = 2x dx dv = cos(2x) dx => v = (1/2)sin(2x)

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫ x^2 * cos(2x) dx = (x^2)(1/2)sin(2x) - ∫ (1/2)sin(2x) * 2x dx

Упростим это выражение:

(x^2)(1/2)sin(2x) - ∫ sin(2x) x dx

Сейчас у нас есть два интеграла, которые нужно вычислить. Давайте начнем с вычисления первого интеграла:

∫ sin(2x) x dx

Для этого интеграла мы можем использовать интегрирование по частям снова. Выберем:

u = x => du = dx dv = sin(2x) dx => v = (-1/2)cos(2x)

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫ sin(2x) x dx = (-1/2)x cos(2x) - ∫ (-1/2)cos(2x) dx

Упростим:

(-1/2)x cos(2x) + (1/4)sin(2x)

Теперь у нас есть значение первого интеграла. Подставим его обратно в исходное выражение:

(x^2)(1/2)sin(2x) - [(-1/2)x cos(2x) + (1/4)sin(2x)]

Теперь давайте вычислим данный интеграл на интервале [0, π/4]:

∫[0, π/4] x^2 * cos(2x) dx = [(π/4)^2(1/2)sin(2(π/4))] - [(-1/2)(π/4)cos(2(π/4)) + (1/4)sin(2(π/4))] - [(0^2)(1/2)sin(2(0))] - [(-1/2)(0)cos(2(0)) + (1/4)sin(2(0))]

Упрощаем:

[(π/16)sin(π/2)] - [(-1/8)cos(π/2) + 0] - [0] - [0]

Теперь вычислим значения синуса и косинуса:

sin(π/2) = 1 cos(π/2) = 0

Подставляем эти значения:

(π/16) - 0 - 0 - 0 = π/16

Итак, определенный интеграл ∫[0, π/4] x^2 * cos(2x) dx равен π/16.

Надеюсь, это решение помогло вам! Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте знать.