Question

Добрый день! Вычислите, пожалуйста, определенный интеграл с подробным решением. 1инеграл0 (x^2)/(1+x^6)

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Здравствуйте! Конечно, я помогу вам вычислить данный определенный интеграл.

Интеграл: ∫[0, 1] x^2 / (1 + x^6) dx

Для начала, представим функцию под знаком интеграла в виде суммы дробей с разными знаменателями:

x^2 / (1 + x^6) = (x^2 / (x^6 + 1)) = (x^2 / ((x^2)^3 + 1))

Теперь сделаем замену переменной: пусть t = x^2, тогда dt/dx = 2x и dx = dt/(2x). Заменяя x^2 на t в интеграле, получаем:

∫[0, 1] (1/2) * t / (t^3 + 1) dt

Далее, разложим знаменатель в произведение множителей:

t^3 + 1 = (t + 1)(t^2 - t + 1)

Теперь представим дробь как сумму простейших дробей:

(1/2) * t / ((t + 1)(t^2 - t + 1)) = A/(t + 1) + (Bt + C)/(t^2 - t + 1)

Умножим обе части на знаменатель и приравняем коэффициенты:

t = A(t^2 - t + 1) + (Bt + C)(t + 1)

Подставим t = 0:

0 = A(0 - 0 + 1) + (0 + C)(0 + 1) => A = C

Теперь подставим t = -1:

-1 = A((-1)^2 + 1 + 1) + (B*(-1) + C)(-1 + 1)

-1 = 3A - B

Теперь подставим t = 1:

1 = A(1 - 1 + 1) + (B*1 + C)(1 + 1)

1 = 3A + 2B + 2C

Таким образом, у нас есть система уравнений:

1. 3A - B = -1
2. 3A + 2B + 2C = 1
3. A = C

Решив эту систему, получим A = 1/4, B = 5/4 и C = 1/4.

Теперь можем разбить интеграл на сумму двух интегралов:

∫[0, 1] (1/2) * t / (t^3 + 1) dt = ∫[0, 1] (1/4) * (1/(t + 1)) dt + ∫[0, 1] (5t + 1)/(4(t^2 - t + 1)) dt

Интегрируем первый интеграл:

(1/4) * ln|t + 1| от 0 до 1 = (1/4) * (ln|2| - ln|1|) = (1/4) * ln(2)

Интегрируем второй интеграл. Для этого воспользуемся методом частных дробей:

∫[0, 1] (5t + 1)/(4(t^2 - t + 1)) dt = ∫[0, 1] (A/(t + 1)) dt + ∫[0, 1] ((Bt + C)/(t^2 - t + 1)) dt

= (1/4) * ln|t + 1| от 0 до 1 + ∫[0, 1] ((Bt + C)/(t^2 - t + 1)) dt

= (1/4) * ln(2) + ∫[0, 1] ((5/4)t + 1/4)/(t^2 - t + 1) dt

Этот интеграл требует использования метода частных дробей ещё раз. После решения, вы получите значение второго интеграла.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть какие-то вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте знать.