Question

Найти производную сложной функции y=tg^9(x)/(9(m^2+n^2))

Answer 1

Y' = tg⁸(x)/((m^2 + n^2)cos²(x))

Answer 2

Чтобы найти производную сложной функции, используем правило дифференцирования сложной функции (цепного правила). Данная функция состоит из нескольких сложных частей, поэтому нам потребуется применить это правило несколько раз.

Функция: y = tan^9(x) / (9(m^2 + n^2))

1. Сначала найдем производную от части функции, содержащей x: tan^9(x). Используем цепное правило для этой части:

   u(x) = tan^9(x) v(u) = u^9 v'(u) = 9u^8

   Теперь применяем цепное правило: dy/du = v'(u) * du/dx = 9u^8 * d(tan(x))/dx

   Для производной тангенса: d(tan(x))/dx = sec^2(x)

   Так что dy/du = 9u^8 * sec^2(x)

2. Теперь найдем производную части функции, содержащей m и n: 1 / (9(m^2 + n^2)). Это просто константа умноженная на обратное квадратичное выражение, поэтому производная равна:

   dy/dm = 0 dy/dn = 0

3. Теперь объединим эти результаты, используя цепное правило:

   dy/dx = (dy/du) * (du/dx) + (dy/dm) * (dm/dx) + (dy/dn) * (dn/dx)

   Заметьте, что (dy/dm) и (dy/dn) равны нулю, поэтому они не влияют на результат:

   dy/dx = (dy/du) * (du/dx) + 0 + 0 dy/dx = 9u^8 * sec^2(x) * d(tan(x))/dx

   Теперь подставляем обратно u = tan(x):

   dy/dx = 9(tan(x))^8 * sec^2(x)

Итак, производная сложной функции y = tan^9(x) / (9(m^2 + n^2)) равна:

dy/dx = 9(tan(x))^8 * sec^2(x)