Question

Найти первообразную функции y = cos 3x cos 12x. Вот ответ 1/18 sin 9x + 1/30 sin 15x + С.

Answer 1

y = cos3x * cos12x = {применяем формулу произведения косинусов} = 1/2*(cos15x + cos9x) = 1/2cos15x + 1/2cos9x

F(x) = ∫(1/2cos15x + 1/2cos9x)dx = 1/2∫cos15xdx + 1/2∫cos9xdx = 1/2∫cos15x d(15x/15) + 1/2∫cos9x d(9x/9) = 1/30*sin15x + 1/18sin9x + C

Answer 2

Давайте найдем первообразную функции $y = \cos(3x) \cdot \cos(12x)$ и проверим, совпадает ли она с предложенным ответом $1/18 \sin(9x) + 1/30 \sin(15x) + C$.

Используем тригонометрическое тождество $\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$:

$y = \frac{1}{2}[\cos(3x - 12x) + \cos(3x + 12x)]$ $y = \frac{1}{2}[\cos(-9x) + \cos(15x)]$ $y = \frac{1}{2}[\cos(9x) + \cos(15x)]$

Теперь найдем первообразную этой функции:

$$\int y \, dx = \frac{1}{2} \int [\cos(9x) + \cos(15x)] \, dx$$

Используем интегралы от элементарных функций:

$$\frac{1}{2} \left[\frac{1}{9} \sin(9x) + \frac{1}{15} \sin(15x)\right] + C$$

Упрощаем:

$$\frac{1}{18} \sin(9x) + \frac{1}{30} \sin(15x) + C$$

Таким образом, предложенный ответ $1/18 \sin(9x) + 1/30 \sin(15x) + C$ верен.