Question

Найти производную, применив логарифмическое дифференцирование: у=x^(lnx)

Answer 1

$y=x^{\ln x}$

Прологарифмируем обе части:

$\ln y=\ln x^{\ln x}$

В правой части применим свойство логарифма:

$\ln y=\ln x\cdot\ln x\\\ln y=(\ln x)^2$

Продифференцируем обе части:

$(\ln y)'=((\ln x)^2)'$

Находим производные, учитывая то, что в обеих частях расположены сложные функции:

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2\ln x\cdot(\ln x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2\ln x\cdot\dfrac{1}{x}$

Выразим производную:

$y'=\dfrac{2\ln x}{x}\cdot y$

Подставим выражение для у:

$y'=\dfrac{2\ln x}{x}\cdot x^{\ln x}$

Можно применить формулу деления степеней:

$y'=2x^{\ln x-1}\ln x$

Answer 2

Чтобы найти производную функции у = x^(lnx) с помощью логарифмического дифференцирования, следует выполнить следующие шаги:

1. Возьмем натуральный логарифм (ln) от обеих сторон уравнения: ln(y) = ln(x^(lnx))

2. Используем свойство логарифмов, которое позволяет переместить показатель степени вперед: ln(y) = (lnx) * ln(x)

3. Теперь дифференцируем обе стороны уравнения по x: (1/y) * dy/dx = [(1/x) * ln(x) + (lnx) * (1/x)]

4. Умножим обе стороны на y, чтобы избавиться от дроби: dy/dx = y * [(1/x) * ln(x) + (lnx) * (1/x)]

5. Вернемся к исходной функции y = x^(lnx) и подставим значение y: dy/dx = x^(lnx) * [(1/x) * ln(x) + (lnx) * (1/x)]

Это и есть производная функции у = x^(lnx) с использованием логарифмического дифференцирования.