Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+4x ; y=0

Answer 1

Пределы интегрирования 4х-х²=0; х*(4-х)=0; х=0; х=4

Найдем интеграл от 0 до 4 от функции (-х²+4х-0), он равен 2х²-х³/3, подставим пределы интегрирования,  2*4²-4³/3-0=32-64/3=

32*(1-2/3)=32 1/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4x и y = 0, вам нужно найти точки их пересечения, которые определяют границы этой фигуры. Затем можно использовать определенный интеграл для вычисления площади.

Сначала найдем точки пересечения линий:

1. Пересечение с осью x (y = 0): 0 = -x^2 + 4x

   Это уравнение можно решить, положив y = 0: 0 = x(x - 4)

   Таким образом, x = 0 и x = 4.

Теперь у нас есть границы интегрирования для x: от 0 до 4.

Далее, для нахождения площади фигуры, мы будем использовать определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right]_{0}^{4}$

Теперь вычислим его в пределах от 0 до 4:

$S = \left[-\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2\right] - \left[-\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2\right]$

$S = \left[-\frac{64}{3} + 32\right] - \left[0\right]$

$S = -\frac{64}{3} + 32$

Теперь вычислим это:

$S = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3}$

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4x и y = 0, равна $\frac{32}{3}$ квадратных единиц.