Question

Упростите выражение 1/1+sina (sin a/2+cos a/2)2

Answer 1

Ответ:

Значение выражения = 1.

Пошаговое объяснение:

Упростить: $\displaystyle \frac{1}{1+sina} * (sin\frac{a}{2}+cos\frac{a}{2} )^{2}$

Решение:

Преобразуем скобку по формуле квадрата суммы двух выражений:

$\displaystyle (sin\frac{a}{2}+cos\frac{a}{2} )^{2}=sina^{2} \frac{a}{2}+2sin\frac{a}{2} cos\frac{a}{2} +cos^{2} \frac{a}{2} = 1 + sin a$ ;

$\displaystyle \frac{1}{1+sina} * (sin\frac{a}{2}+cos\frac{a}{2} )^{2} = \frac{1}{1+sina} *(1+sin a)= 1.$

Использованы формулы:

Квадрат суммы двух выражений:

$\displaystyle (a+b)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2}$

Синус двойного угла:

$\displaystyle 2sin a* cos a=sin2a$

Основное тригонометрическое тождество:

$\displaystyle sin^{2} a + cos^{2} a=1$

Answer 2

Давайте упростим данное выражение:

1 / (1 + sin(a) * (sin(a/2) + cos(a/2))^2)

Сначала раскроем квадрат в знаменателе:

1 / (1 + sin(a) * (sin^2(a/2) + 2 * sin(a/2) * cos(a/2) + cos^2(a/2)))

Заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (это тождество Пифагора), и также можно заметить, что 2 * sin(x) * cos(x) = sin(2x):

1 / (1 + sin(a) * (1 + sin(a)))

Теперь раскроем скобку в знаменателе:

1 / (1 + sin(a) + sin^2(a))

И теперь мы видим, что sin^2(a) = 1 - cos^2(a), поэтому можно заменить sin^2(a) на (1 - cos^2(a)):

1 / (1 + sin(a) + 1 - cos^2(a))

Теперь объединим числитель и знаменатель:

1 / (2 - cos^2(a) + sin(a))

Теперь у нас есть упрощенное выражение:

1 / (2 - cos^2(a) + sin(a))