Question

В честь очередного тура государственной лотереи «Не то лото» было выпущено 81 лотерейных билетов, пронумерованных дробями 181;281;381;...;8181. Выигрышными оказались все те билеты, дроби на которых нельзя сократить. Сколько выигрышных билетов в тираже?

Answer 1

81 = 9·9 = 3²·3² = 3⁴,

Числитель можно сократить со знаменателем если числитель делится нацело на 3 или на большую степень тройки. Но если числитель делится нацело на большую степень тройки, то он обязан делится и на 3. Поэтому каждый третий билет не является выигрышным. А все остальные - являются.

Итак, (2/3)·81 = 2·27 = 54.

Ответ. 54.

Answer 2

Для определения количества выигрышных билетов, нужно найти количество взаимно простых чисел в представленном ряду дробей. Дробь в данном случае можно считать неприводимой, если её числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.

В данном ряду числитель всегда равен 1, а знаменатель принимает значения от 81 до 8181 с шагом 100 (181, 281, 381, ..., 8181).

Пройдемся по знаменателям и найдем количество взаимно простых чисел:

1. 81: Нет общих делителей с 1, так что они взаимно просты.
2. 281: Нет общих делителей.
3. 381: Общий делитель 3, но 1 и 381 взаимно просты.
4. ...
5. 8181: Общий делитель 9, но 1 и 8181 взаимно просты.

Таким образом, каждая дробь считается выигрышной, за исключением тех, у которых знаменатель делится на 3. В ряду от 81 до 8181 с шагом 100 всего 81 чисел, и каждое из них взаимно просто с числом 3. Следовательно, все 81 билет являются выигрышными в данной лотерее.