Question

К празднику было выпущено 10000 лотерейных билетов, среди которых 100 выигрышных . Фирма Салют купила 200 билетов для своих сотрудников. а) Определите, какое распределение будет подходящей моделью в данном случае. б) Какова вероятность того, что среди купленных фирмой билетов окажется не более четырех выигрышных? в) Сколько билетов надо купить, чтобы среди них с вероятностью 90% оказался хотя бы один выигрышный?

Answer 1

а) данная модель распределена по биномиальному закону.Вероятность успеха в одном испытании равна p = 100/10000 = 0.01, тогда q = 1 - p = 1 - 0.01 = 0.99

б) Вероятность того, что среди купленных фирмой билетов окажется не более четырех выигрышных, равна$P\{X\leq 4\}=P\{X=0\}+P\{X=1\}+P\{X=2\}+P\{X=3\}+P\{X=4\}\\ \\ =q^{200}+C^1_{200}pq^{199}+C^2_{200}p^2q^{198}+C^3_{200}p^3q^{197}+C^4_{200}p^4q^{196}=\\ \\ \\ =q^{196}\left(q^4+200pq^3+\dfrac{200!}{198!2!}p^2q^2+\dfrac{200!}{3!197!}p^3q+\dfrac{200!}{4!196!}p^4\right)=\\ \\ \\ =q^{196}\cdot \Big(q^4+200pq^3+19900p^2q^2+1313400p^3q+64684950p^4\Big)\approx0.95$

в) Воспользуемся вероятностью противоположного события.

Подсчитаем сколько нужно взять билетов, чтобы среди них с вероятность 100% - 90% = 10% оказались все не выигрышные билеты.

$P=0.99^n~~~\Rightarrow~~~ 0.1=0.99^n\\ \\ \ln 0.1=n\ln 0.99\\ \\ n=\dfrac{\ln0.1}{\ln0.99}$

Откуда n = 230, так как вероятность того, что купленные билеты невыигрышные равна $0.99^{230}\approx0.1$ откуда вероятность того, что среди купленных билетов окажутся хотя бы один выигрышный билет равна $P=1-0.1=0.9$

Answer 2

а) В данном случае подходящей моделью будет гипергеометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение применяется в ситуациях, когда выборка без возвращения проводится из конечной популяции, и интерес представляет вероятность выбрать определенное количество объектов из разных категорий.

б) Для определения вероятности того, что среди 200 купленных фирмой билетов окажется не более четырех выигрышных, мы можем использовать гипергеометрическое распределение. Вероятность можно вычислить следующим образом:

P(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

Где X - количество выигрышных билетов среди 200 купленных фирмой билетов.

Формула для вычисления вероятности гипергеометрического распределения выглядит следующим образом:

P(X = k) = (C(K, k) * C(N - K, n - k)) / C(N, n)

Где: N - общее количество билетов (10000) K - количество выигрышных билетов (100) n - количество купленных фирмой билетов (200) k - количество выигрышных билетов среди купленных (0, 1, 2, 3, 4)

Подставим значения в формулу и вычислим вероятность:

P(X ≤ 4) = (C(100, 0) * C(9900, 200) + C(100, 1) * C(9900, 199) + C(100, 2) * C(9900, 198) + C(100, 3) * C(9900, 197) + C(100, 4) * C(9900, 196)) / C(10000, 200)

в) Чтобы определить, сколько билетов нужно купить, чтобы с вероятностью 90% оказался хотя бы один выигрышный, мы также можем использовать гипергеометрическое распределение. Нам нужно найти такое значение n, при котором P(X ≥ 1) ≥ 0.9.

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

Формула для вычисления вероятности P(X = 0) с использованием гипергеометрического распределения остается такой же, как в предыдущем пункте. Мы можем использовать итеративный подход, увеличивая n, пока P(X = 0) не станет меньше 0.1.

Таким образом, мы будем увеличивать значение n и вычислять P(X = 0) до тех пор, пока оно не станет меньше 0.1. Найденное значение n будет ответом на вопрос.