Question

ОБЪЯСНИТЕ КАК РЕШАТЬ Найдите точку максимума y=(4-x) e^(x+4) Проблема в том, что я не понимаю, как найти производную, в примерах по-разному пишут и даже не объясняют

Answer 1

Точка max Х=3

Решение задания прилагаю

Answer 2

Ответ:

3

Пошаговое объяснение:

1) Данная функция y=(4-x) · e^(x+4) представляет собой произведение линейной  функции (4-x) и показательной функций e^(x+4), которые определены на всей действительной оси, то есть в ответе  может быть любое значение х от -∞ до + ∞.

Это значит, что обе функции дифференцируемы, то есть для каждой из них в любой точке существует производная.  

2) Перед тем, как брать производную, иногда лучше сделать умножение, то есть раскрыть скобки.

Раскрываем скобки:

у = (4-x) · e^(x+4) = 4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)

3) Берём производную:

у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]'

Теорема 1:

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций.

Речь идёт, конечно, об алгебраической сумме. Поэтому, если разность, как у нас, то это не должно смущать.

Получаем:

у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]'

4) В первой скобке [4 · e^(x+4)]' первый сомножитель 4 - это константа, или постоянный множитель.

Теорема 2.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Второй сомножитель e^(x+4) необходимо рассмотреть более подробно. Если бы это было у= e^х, то вопросов бы не было, так как у'=(e^х)'= e^х - это стандартное табличное значение производной. Но если вместо х встречается какое-либо другое значение (как в нашем примере х+4), то это новое значение надо обозначить буквой u и применить формулу для сложной функции.    

Теорема 3.

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по х.

То есть: если у= e^u, то у '= (e^u)' = e^u · u'

Что получается со вторым множителем:

[4 · e^(x+4)]' = 4 · [e^(x+4)]' (вынесли константу за знак производной) =

= 4 · [e^u]' (заменили х+4 на u) = 4 · e^(х+4) · (х+4)' (применили Теорему 3) = 4 · e^(х+4) · (1+0) (применили Теорему 1, далее - Теорему 4 и Теорему 5, тексты этих теорем смотри ниже) = 4 · e^(х+4).

Теорема 4.

Производная функции у = x^n равна n· х^(n-1).

То есть (х)' = 1 · х ^ (1-1) = х^0 = 1

Теорема 5.

Производная постоянной равна нулю.

То есть (4)' = 0

5) Мы расписали первую скобку:  

у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]'

Переходим ко второй скобке:

у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]'

Во второй скобке - произведение.

Теорема 6.

Производная от произведения двух дифференцируемых функций u и v равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение производной второй функции на первую функцию, то есть:

если у = u · v, то у' = u' · v + v' · u.

[х · e^(x+4)]' = х' · e^(x+4) + [e^(x+4)]' · х = 1 · e^(x+4) + e^(х+4) (решение и комментарий см. п. 4) · х = e^(x+4) + х · e^(x+4)  

6) у' = [4 · e^(x+4) - х · e^(x+4)]' = [4 · e^(x+4)]' - [х · e^(x+4)]' =

=  4 · e^(х+4) - [e^(x+4) + х · e^(x+4) =

= 4 · e^(х+4)  - e^(x+4)  - х · e^(x+4) = (приводим подобные)

= 3 · e^(х+4)  - х · e^(x+4) = (выносим общий множитель за скобки)    

= e^(x+4) · (3-х)

Таким образом:

у' = e^(x+4) · (3-х)

7) В точке экстремума производная равна нулю:

у' = e^(x+4) · (3-х) = 0

Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. А так как e^(x+4) ≠ 0 ни при каких значениях х, то

3-х=0

х = 3

Ответ: х = 3.

ПРИМЕЧАНИЕ

Найти точку - значит, найти х.

В этом случае у искать не надо.

Answer 3

Для того чтобы найти точку максимума функции y = (4 - x) * e^(x + 4), вы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции y по переменной x. Для этого используйте правила дифференцирования.

   y'(x) = [(4 - x) * e^(x + 4)]'

   Для нахождения производной произведения функций, вам пригодится правило производной произведения, которое гласит:

   (uv)' = u'v + uv'

   Где u и v - это две функции, и u' и v' - их производные. В данном случае:

   u(x) = 4 - x v(x) = e^(x + 4)

   Теперь найдем производные от этих функций:

   u'(x) = -1 (производная константы -x) v'(x) = e^(x + 4) (производная функции e^(x + 4))

   Теперь мы можем применить правило производной произведения:

   y'(x) = (4 - x)' * e^(x + 4) + (4 - x) * (e^(x + 4))'

   y'(x) = (-1) * e^(x + 4) + (4 - x) * e^(x + 4)

2. Теперь приравняйте производную к нулю, чтобы найти точки, где производная равна нулю:

   0 = (-1) * e^(x + 4) + (4 - x) * e^(x + 4)

   Теперь выразите x из этого уравнения:

   (-1) * e^(x + 4) + (4 - x) * e^(x + 4) = 0

   e^(x + 4) * (-1 + 4 - x) = 0

   e^(x + 4) * (3 - x) = 0

3. Решите уравнение e^(x + 4) * (3 - x) = 0. Для этого учитывайте, что произведение двух чисел равно нулю только тогда, когда хотя бы одно из чисел равно нулю:

   a) e^(x + 4) = 0 - это уравнение не имеет решений, так как экспоненциальная функция e^(x + 4) всегда положительна и не равна нулю.

   b) 3 - x = 0 - решение этого уравнения:

   3 - x = 0 -x = -3 x = 3

Таким образом, точка максимума функции y = (4 - x) * e^(x + 4) находится при x = 3. Чтобы найти значение функции в этой точке, подставьте x = 3 обратно в исходную функцию:

y(3) = (4 - 3) * e^(3 + 4) y(3) = 1 * e^7 y(3) = e^7

Итак, точка максимума находится при x = 3, и значение функции в этой точке равно e^7.

Answer 4

Чтобы найти точку максимума функции $y = (4 - x) e^{x+4}$, сначала нужно найти производную этой функции и затем решить уравнение для нахождения критических точек. После этого можно будет проверить, являются ли эти критические точки точками максимума или минимума с помощью второй производной.

Шаг 1: Находим производную $y'$ функции $y$. Для этого используем правило производной произведения:

$y = (4 - x) e^{x+4}$ $y' = (4 - x)' e^{x+4} + (4 - x) (e^{x+4})'$

Теперь вычислим производные:

$(4 - x)' = -1$ $(e^{x+4})' = e^{x+4}$

Подставим эти значения обратно в формулу:

$y' = -1 \cdot e^{x+4} + (4 - x) \cdot e^{x+4}$

Упростим это выражение:

$y' = (4 - x - 1) \cdot e^{x+4}$ $y' = (3 - x) \cdot e^{x+4}$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв $y'$ к нулю и решив уравнение:

$(3 - x) \cdot e^{x+4} = 0$

Так как экспоненциальная функция $e^{x+4}$ никогда не равна нулю для любых значений $x$, уравнение можно решить, приравняв $(3 - x)$ к нулю:

$3 - x = 0$

Отсюда находим $x$:

$x = 3$

Это критическая точка.

Шаг 3: Чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом, можно использовать вторую производную. Вычислим вторую производную $y''$:

$y' = (3 - x) \cdot e^{x+4}$

Для вычисления $y''$ снова применяем правило производной произведения:

$y'' = (3 - x)' \cdot e^{x+4} + (3 - x) \cdot (e^{x+4})'$

Вычисляем производные:

$(3 - x)' = -1$ $(e^{x+4})' = e^{x+4}$

Подставляем обратно в формулу:

$y'' = -1 \cdot e^{x+4} + (3 - x) \cdot e^{x+4}$

Упростим это выражение:

$y'' = (3 - x - 1) \cdot e^{x+4}$ $y'' = (2 - x) \cdot e^{x+4}$

Теперь подставим $x = 3$ (нашу критическую точку) в $y''$:

$y''(3) = (2 - 3) \cdot e^{3+4}$ $y''(3) = (-1) \cdot e^7$

Так как $e^7$ положительное число, а коэффициент перед ним отрицательный, то $y''(3)$ отрицательно.

Исходя из второй производной, можем сделать вывод, что точка $x = 3$ является точкой максимума.