Question

Известно, что (x+1/x)^2=3 .Чему равно значение x^3+1/x^3​

Answer 1

Забавная задача. Если $(x+\frac{1}{x})^2=3\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2=3;\ x^2+\frac{1}{x^2}=1; x^2-2+\frac{1}{x^2}=-1; (x-\frac{1}{x})^2=-1,$

чего не может быть (по крайней мере в действительных числах). Значит, требуемое выражение вычислить не представляется возможным.

Answer 2

Для решения этой задачи начнем с известного уравнения:

(x + 1/x)^2 = 3

Давайте выразим (x + 1/x)^2 в более подходящей форме:

(x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 = 3

Теперь выразим x^2 + 1/x^2:

x^2 + 1/x^2 = 3 - 2 = 1

Мы знаем, что значение x^3 + 1/x^3 можно выразить через следующее рекуррентное соотношение:

x^n + 1/x^n = (x^(n-1) + 1/x^(n-1)) * (x + 1/x) - (x^(n-2) + 1/x^(n-2))

В нашем случае, n = 3, и у нас уже есть значения для x^2 + 1/x^2 и x^1 + 1/x^1:

x^3 + 1/x^3 = (x^2 + 1/x^2) * (x + 1/x) - (x^1 + 1/x^1)

Теперь мы можем подставить значения:

x^3 + 1/x^3 = (1) * (x + 1/x) - (x + 1/x)

Теперь мы знаем, что x + 1/x равно корню из уравнения (x + 1/x)^2 = 3:

x + 1/x = √3

Таким образом,

x^3 + 1/x^3 = (√3) - (√3) = 0

Итак, значение выражения x^3 + 1/x^3 равно 0.