Question

Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)2, ограниченной линиями х=2 и х=1, осью х0

Answer 1

Ответ:

$(x - 1) \times 2 \\ 2x - 2$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой $(x-1)^2$, осью x, и вертикальными линиями $x = 1$ и $x = 2$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите точки пересечения кривой $(x-1)^2$ с вертикальными линиями $x = 1$ и $x = 2$.

Для $x = 1$, $y = (1-1)^2 = 0$, так что точка пересечения с $x = 1$ это (1, 0). Для $x = 2$, $y = (2-1)^2 = 1$, так что точка пересечения с $x = 2$ это (2, 1).

2. Найдите интеграл функции $(x-1)^2$ на интервале [1, 2].

$$\int_{1}^{2} (x-1)^2 \, dx$$

Для интегрирования выразите функцию как:

$$\int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 1) \, dx$$

Теперь интегрируйте по x:

$$\left[\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x\right]_{1}^{2}$$

3. Вычислите значение интеграла на интервале [1, 2]:

$$\left(\frac{1}{3} \cdot 2^3 - 2^2 + 2\right) - \left(\frac{1}{3} \cdot 1^3 - 1^2 + 1\right)$$

Вычисляем:

$$\left(\frac{8}{3} - 4 + 2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1 + 1\right)$$

$$\left(\frac{8}{3} - 4 + 2\right) - \left(\frac{1}{3}\right)$$

Теперь вычислим:

$$\frac{8}{3} - 4 + 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой $(x-1)^2$, осью x, и вертикальными линиями $x = 1$ и $x = 2$, равна $\frac{4}{3}$ квадратных единиц (единицы площади).