Question

Помогите пожалуйста А) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=6х-6х^2 , у=0, х=0,х=1. Сделать рисунок. Г) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=х^3-1 , у=0, х=2, х=3 Сделать рисунок.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

для обоих случаев:

Площадь криволинейной трапеции - это определенный интеграл  $\int\limits^a_b {f(x)x} \, dx$  для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

1)

f(x) = 6x -6x²;  y=0; x=0;  x=1

$f'(x) = -6\int\limits^0_1 {x^{2} } \, dx + 6 \int\limits^0_1 {} \, dx =$

(-2x³) Ι₀¹  + 3x²Ι₀¹ = -2 +3 = 1

$S_{G} = 1$

точки для построения графика

х=0; у= 0;

х= 0,2;  у=0.96

х= 0,4;  у = 1,44

х=0,6; у=1,44

х=0,8; у = 0,96

х = 1;    у= 0

2)

f(x) = х³ - 1;  y=0; x=2;  x=3

$f'(x) = \int\limits^2_3{x^{3} } \, dx - \int\limits^2_3 {} \, dx =$

(х⁴/4) Ι₂³ + (-х) Ι₂³ = 65/4 -1 = 61/4

$S_{G} = \frac{61}{4}$

точки для построения графика

х=2;  у=7

х=2,2;   у = 9,65

х = 2,4;   у=14,62

х=2,6;   у=16,58

х=2,8;   у=20,95

х=3;   у=26

Графики на фото.

файл 11 - график  f(x) = 6x -6x²;  y=0; x=0;  x=1

файл 22 - график f(x) = х³ - 1;  y=0; x=2;  x=3

Answer 2

Давайте начнем с вычисления площади криволинейной трапеции для каждого из заданных случаев.

Задание А: У нас есть криволинейная трапеция, ограниченная следующими линиями: у = 6х - 6х^2, у = 0, х = 0, х = 1.

Сначала нарисуем графики данных функций:

plaintextCopy code
 y
 ^
 |      /   
 |     /    
 |    /     
 |   /      
 |  /       
 | /        
 |/         
 +-------------------------> x

Теперь давайте найдем точки пересечения функций, чтобы определить интервал интегрирования:

1. Уравнение у = 6х - 6х^2 пересекает у = 0 при 6х - 6х^2 = 0, то есть x = 0 и x = 1.

Интеграл для вычисления площади между кривыми будет следующим:

S = ∫[0,1] (6x - 6x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [3x^2 - 2x^3] от 0 до 1 S = (3 * 1^2 - 2 * 1^3) - (3 * 0^2 - 2 * 0^3) S = 3 - 2 = 1

Итак, площадь криволинейной трапеции равна 1.

Задание Г: У нас есть криволинейная трапеция, ограниченная следующими линиями: у = х^3 - 1, у = 0, х = 2, х = 3.

Давайте нарисуем графики данных функций:

plaintextCopy code
 y
 ^
 |     -----
 |    /     
 |   /      
 |  /       
 | /        
 |/         
 +-------------------------> x

Точки пересечения:

1. Уравнение у = х^3 - 1 пересекает у = 0 при х^3 - 1 = 0, то есть x = 1.

Интеграл для вычисления площади между кривыми:

S = ∫[2,3] (x^3 - 1) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [1/4 * x^4 - x] от 2 до 3 S = (1/4 * 3^4 - 3) - (1/4 * 2^4 - 2) S = (81/4 - 3) - (16/4 - 2) S = 81/4 - 3 - 4 + 2 S = 73/4

Итак, площадь криволинейной трапеции равна 73/4.

Я попытался описать процесс и вычисления площади и нарисовать графики, но если у вас остались вопросы или необходимо более подробное объяснение, пожалуйста, дайте мне знать!