Question

Помогите пожалуйстa А) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=6х-6х^2 , у=0, х=0,х=1. Сделать рисунок. Г) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=х^3-1 , у=0, х=2, х=3 Сделать рисунок.

Answer 1

$1)\ \ y=6x-6x^2\ \ ,\ \ y=0\ \ ,\ \ x=0\ \ ,\ \ x=1\\\\6x-6x^2=0\ \ \to \ \ \ 6x\, (1-x)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ \ ,\ \ x_2=1\\\\S=\int\limits^1_0\, (6x-6x^2)\, dx=(3x^2-2x^3)\Big|_0^1=3-2=1$

$2)\ \ y=x^3-1\ \ ,\ \ y=0\ \ ,\ \ x=2\ \ ,\ \ x=3$

$S=\int\limits^3_2\, (x^3-1)\, dx=\Big(\dfrac{x^4}{4}-x\Big)\Big|_2^3=\dfrac{81}{4}-3-\dfrac{16}{4}+2=15,25$

Answer 2

Давайте начнем с вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной функциями у=6х-6х^2, у=0, х=0 и х=1.

А) Вычисление площади между кривой и осями координат:

1. Сначала нарисуем график функции y=6x-6x^2 в заданном интервале [0, 1]:

2. Площадь под кривой в этом интервале равна интегралу от 0 до 1 функции y=6x-6x^2 по x:

   S = ∫[0,1] (6x - 6x^2) dx

3. Вычислим этот интеграл:

   S = [3x^2 - 2x^3] от 0 до 1 S = (31^2 - 21^3) - (30^2 - 20^3) S = (3 - 2) - (0 - 0) S = 1

Итак, площадь криволинейной трапеции равна 1.

Теперь перейдем к второй задаче.

Б) Вычисление площади криволинейной трапеции для функций y=x^3-1, y=0, x=2 и x=3:

1. Нарисуем график функции y=x^3-1 в интервале [2, 3]:

2. Площадь под кривой в этом интервале равна интегралу от 2 до 3 функции y=x^3-1 по x:

   S = ∫[2,3] (x^3 - 1) dx

3. Вычислим этот интеграл:

   S = [(1/4)x^4 - x] от 2 до 3 S = [(1/4)*3^4 - 3] - [(1/4)*2^4 - 2] S = (81/4 - 3) - (16/4 - 2) S = (81/4 - 12/4) - (16/4 - 8/4) S = (69/4) - (8/4) S = (69 - 8) / 4 S = 61 / 4

Итак, площадь криволинейной трапеции равна 61/4 или 15.25.

Надеюсь, это помогло!