Question

Найти корни : √3 Sin 2x-COS 2X = O

Answer 1

$\displaystyle\sqrt{3} \sin2x-\cos2x=0$

Переносим косинус в правую часть уравнения:

$\displaystyle\sqrt{3} \sin2x=\cos2x$

Разделим всё уравнение на $\cos2x$:

$\displaystyle\sqrt{3} \sin2x=\cos2x|\div\cos2x\\\\\frac{\sqrt{3} \sin2x}{\cos2x} =1\\\\\sqrt{3} \text{tg}2x=1$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\text{tg}2x=\dfrac{1}{\sqrt{3} }=\dfrac{\sqrt{3} }{3}$

Значение табличное, значит найдем корни уравнения относительно 2х:

$2x=\dfrac{\pi}{6} +\pi n,n\in Z$

Теперь находим x:

$2x=\dfrac{\pi}{6} +\pi n,n\in Z|\div2\\\\x=\dfrac{\pi}{\dfrac{6}{2} } +\dfrac{\pi n}{2} ,n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{\pi n}{2} ,n\in Z$

Ответ:

$x=\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{\pi n}{2} ,n\in Z$

Answer 2

Для нахождения корней уравнения √3sin(2x) - cos(2x) = 0 нужно воспользоваться тригонометрическими и алгебраическими методами. Давайте начнем с преобразования этого уравнения:

√3sin(2x) - cos(2x) = 0

Попробуем выразить sin(2x) и cos(2x) через sin(x) и cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

√3(2sin(x)cos(x)) - (cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

2√3sin(x)cos(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

Теперь выразим sin^2(x) из уравнения:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим это обратно в уравнение:

2√3sin(x)cos(x) - (cos^2(x) - (1 - cos^2(x))) = 0

2√3sin(x)cos(x) - cos^2(x) + 1 - cos^2(x) = 0

2√3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x):

2√3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) + 1 = 0

Перенесем все члены на одну сторону:

2√3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) + 1 = 0

2√3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) + 1 = 0

2√3sin(x)cos(x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. Если cos(x) = 0, то sin(x) может быть любым значением между -1 и 1, и у нас будет корень уравнения вида 0 = 0.

2. Если cos(x) ≠ 0, то мы можем поделить обе стороны на 2cos(x):

2√3sin(x) = 2cos(x) - 1

√3sin(x) = cos(x) - 1/√3

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью sin(30°) = 1/2 и cos(30°) = √3/2:

√3sin(30°) = √3(1/2) = √3/2 cos(30°) - 1/√3 = (√3/2) - (1/√3) = (√3 - 1) / √3

Таким образом, наше уравнение может быть записано как:

√3sin(x) = (√3 - 1) / √3

Теперь мы можем найти x:

sin(x) = (√3 - 1) / 3

Для нахождения корней сначала найдем обратный синус от (√3 - 1) / 3:

x = arcsin((√3 - 1) / 3)

Теперь вычислим значение этого арксинуса:

x ≈ 30°

Таким образом, у нас есть два корня:

1. x = 0 (для cos(x) = 0)
2. x ≈ 30° (для sin(x) = (√3 - 1) / 3)