Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=2-x^2

Answer 1

Все довольно просто.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти точки их пересечения, а затем проинтегрировать разность функций, описывающих эти границы, от одной из точек пересечения до другой по оси x.

Сначала найдем точки пересечения линий:

y = x^2 y = 2 - x^2

Приравняем выражения для y и решим уравнение:

x^2 = 2 - x^2 2x^2 = 2 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, точки пересечения находятся в точках (-1, 0) и (1, 0).

Площадь фигуры можно вычислить как разность площадей между графиками функций y = x^2 и y = 2 - x^2 от -1 до 1:

Площадь = ∫(от -1 до 1) [(2 - x^2) - x^2] dx

Вычислим интеграл:

Площадь = ∫(от -1 до 1) (2 - 2x^2) dx = [2x - (2/3)x^3] (от -1 до 1) = [2 - (2/3)] - [-2 + (2/3)] = 8/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 2 - x^2, составляет 8/3 квадратных единиц.