Question

Интеграл cos^3x/sin^5x

Answer 1

$\int\frac{\cos^3x}{\sin^5 x}\, dx=-\int ctg^3 x\, d\, ctg x= -\frac{ctg^4 x}{4}+C$

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(cos^3x)/(sin^5x)dx сначала воспользуемся методом замены переменных. Обозначим u = sin(x), тогда du = cos(x)dx.

Интеграл примет вид: ∫(cos^3x)/(sin^5x)dx = ∫(cos^2x * cosx)/(sin^5x)dx = ∫(1 - sin^2x)*cosx/(sin^5x)dx.

Заметим, что sin^2x = 1 - cos^2x, поэтому можем переписать числитель под интегралом:

∫(1 - sin^2x)*cosx/(sin^5x)dx = ∫(1 - (1 - cos^2x))*cosx/(sin^5x)dx = ∫(cos^2x * cosx)/(sin^5x)dx.

Теперь заменим dx на du/cos(x):

∫(cos^2x * cosx)/(sin^5x)dx = ∫(cos^2x * cosx)/(u^5) * (du/cosx) = ∫(cosx/u^5)du.

Теперь можем интегрировать:

∫(cosx/u^5)du = ∫(1/u^5)du = -1/(4u^4) + C,

где C - произвольная постоянная.

Наконец, возвращаемся к исходной переменной x, подставляя u = sin(x):

∫(cos^3x)/(sin^5x)dx = -1/(4sin^4x) + C.

Таким образом, окончательное выражение для интеграла ∫(cos^3x)/(sin^5x)dx равно -1/(4sin^4x) + C.