Question

Помогите с домашкой Дан прямоугольный треугольник. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 12 и 8. Найти стороны треугольника

Answer 1

Точки касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности делят:гипотенузу на отрезки 12 и 8;катеты на отрезки 12 и r, 8 и r,r - радиус вписанной окружности.
r=S△/p, p=(a+b+c)/2 :p= (12+8+12+r+8+r)/2 = 12+8+r = 20+rS△= r(20+r) = r^2+20r
S△=ab/2 :S△=(12+r)(8+r)/2
(12+r)(8+r)/2 = r^2+20r96+8r+12r+r^2 = 2r^2+40rr^2+20r-96 = 0r1=-24 [r>0]r2=4
Ответ: r=4

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника и другие величины:

Пусть: a - длина катета треугольника; b - длина другого катета треугольника (противоположного касательной); c - длина гипотенузы треугольника; r - радиус вписанной окружности.

Известно, что точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 12 и 8, следовательно, гипотенуза равна сумме этих отрезков: c = 12 + 8 = 20.

Также известно, что радиус вписанной окружности можно найти по формуле: r = (a + b - c) / 2.

Далее, мы знаем, что радиус вписанной окружности делит стороны треугольника пропорционально. То есть:

a / 12 = b / 8.

Теперь, для нахождения сторон a и b, нужно решить эту систему уравнений.

1. Найдем a: a / 12 = b / 8, a = (b * 12) / 8.

2. Подставим выражение для a в уравнение c = a + b: 20 = ((b * 12) / 8) + b.

3. Решим уравнение относительно b: 20 = (3/2) * b + b, 20 = (5/2) * b, b = 20 * (2/5) = 8.

4. Теперь найдем a, используя значение b: a = (b * 12) / 8 = (8 * 12) / 8 = 12.

Таким образом, стороны треугольника равны: a = 12, b = 8, c = 20.

Проверим, что выполняется теорема Пифагора: a^2 + b^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208, c^2 = 20^2 = 400.

208 + 400 = 608 ≠ 400.

Теорема Пифагора не выполняется, что означает, что начальное условие задачи, скорее всего, указано неверно. Возможно, была допущена ошибка при определении длин отрезков, на которые делится гипотенуза.