Question

Найти уравнение касательной в точке М( 1; 1/2) функции 0,5x^2 +4x

Answer 1

Найти уравнение касательной в точке М( 1; 1/2) функции 0,5x² + 4x

Решение
Проверим не является ли точка М(1;1/2) точкой касания.Если точка М(1;1/2) является точкой касания, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции.

Подставим координаты  точки М(1;1/2)  в уравнение функции у = 0,5x² + 4x.
                       0,5 = 0,5·1² + 4·1
                           0,5 ≠ 4,5
значит точка M(1;1/2) не является точкой касания.
Уравнение касательной выглядит
                     y = f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)

Значение функции в точке х₀ равно

                           f(x₀)= 0,5x₀² + 4x₀

Найдём  производную в точке x₀
                      f'(x) = (0,5x² + 4x)' = x + 4                           
                        f'(x₀) = x₀ + 4
Подставим найденные выражения в формулу касательной 
                       0,5 = 0,5x₀² + 4x₀ + (x₀ + 4)(1 - x₀)
Решим это уравнение

                      0,5x₀² + 4x₀ - x₀² - 3x₀ + 4 - 0,5 = 0                     
                                              0,5x₀²+ x₀ + 3,5 = 0                                                                                                                  x₀²- 2x₀ - 7 = 0                             
                              D = 2² - 4*(-7) = 4 + 28 = 32
Первый корень уравнения
                         x₀ = (2 - 4√2)/2 = 1 - 2√2
f(x₀) = 0,5(1-2√2)² + 4(1-2√2) = 0,5(1-4√2+8) + 4 - 8√2 =
        =  4,5 - 2√2 + 4 - 8√2 = 8,5 - 10√2
f'(x₀) = 1 - 2√2 + 4 = 5 - 2√2

Уравнение касательной в точке x₀ = 1 - 2√2  f(x₀) = 8,5 - 10√2          

y = 8,5 - 10√2 + (5 - 2√2)(x - 1 + 2√2) =
= 8,5 - 10√2 - 5 + 10√2 + 2√2 - 8 + (5-2√2)х = (5-2√2)х + 2√2 - 4,5

Второй корень уравнения                                      
              x₀=(2+4√2)/2 = 1 + 2√2

f(x₀) = 0,5(1 + 2√2)² + 4(1 + 2√2) = 0,5(1 + 4√2 + 8) + 4 + 8√2 =
        = 4,5 + 2√2 + 4 + 8√2 = 8,5 + 10√2
f'(x₀) = 1 + 2√2 + 4 = 5 + 2√2

Напишем уравнение касательной в точке x₀ = 1 + 2√2   f(x₀) =  8,5 + 10√2                   
     y = 8,5 + 10√2 + (5 + 2√2)(x - 1 - 2√2) =
= 8,5 + 10√2 - 5 - 10√2 - 2√2 - 8 + (5 + 2√2)х = (5 + 2√2)х - 4,5 - 2√2

Получили два уравнения касательных удовлетворяющих условиям задачи 

Ответ: y = (5 - 2√2)х + 2√2 - 4,5;  y = (5 + 2√2)х - 4,5 - 2√2

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к функции в заданной точке, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Подставить координаты точки М(1; 1/2) в производную, чтобы найти значение производной в этой точке.
3. Используя найденное значение производной и координаты точки М(1; 1/2), составить уравнение касательной.

Дано уравнение функции: f(x) = 0.5x^2 + 4x

1. Найдем производную функции f'(x): f'(x) = d/dx (0.5x^2 + 4x) f'(x) = 1 * 0.5 * 2x^(1-1) + 4 * 1 f'(x) = x + 4

2. Теперь найдем значение производной в точке М(1; 1/2): f'(1) = 1 + 4 = 5

3. Теперь составим уравнение касательной в точке М(1; 1/2). Общее уравнение касательной к функции y = f(x) в точке (a; f(a)) имеет вид y = f'(a) * (x - a) + f(a). Подставим значения a = 1, f(a) = f(1) = 0.5 * 1^2 + 4 * 1 = 0.5 + 4 = 4.5 и f'(a) = f'(1) = 5:

y = 5 * (x - 1) + 4.5

Уравнение касательной в точке М(1; 1/2) функции f(x) = 0.5x^2 + 4x:

y = 5 * (x - 1) + 4.5