Question

Рабочий и его ученик , работая вместе , выполняли всю работу за 2 часа . За сколько часов выполнял бы всю работу рабочий , работая один , если известно , что он затратит на эту работу на 3 часа меньше , чем ученик ?

Answer 1

Пусть вся работа 1 (единица), а х время, за которое выполнял бы рабочий работая один, у время за которое выполнял бы ученик, работая один. Вместе выполняют работу за 2 часа. Рабочий тратит на выполнение всей работы на 3 часа меньше. Составим два уравнения, выделим х в первом 
у-х=3; х=у-3.
1/х+1/у=1/2; 
Подставим значение х во второе уравнение:
1/(у-3)+1/у=1/2
у+у-3=(1/2)у(у-3)
2у-3=0,5у²-1,5у
0,5у²-3,5у+3=0
у²-7+6=0
D=25
у₁=1 не подходит, т.к. ученик не может один работать быстрее совместной с рабочим.
у₂=6 часов нужно ученику, чтобы выполнить одному всю работу.
6-3=3 часа выполнит всю работу рабочий работая один.
Ответ: за 3 часа.

Answer 2

Пусть работа обозначает количество работы, которую нужно выполнить, чтобы завершить задачу.

Предположим, что ученик выполняет работу со скоростью x работа/час, и он затратит t часов, чтобы выполнять всю работу один. Тогда рабочий, работая вместе с учеником, выполняет работу со скоростью y работа/час, и они заканчивают за 2 часа.

Из условия известно, что работа рабочего будет выполняться на 3 часа меньше, чем ученика. То есть, рабочий затратит (t - 3) часов, чтобы выполнять всю работу один.

Теперь используем формулу для работы: работа = скорость × время.

Для ученика: работа = x * t

Для рабочего: работа = y * (t - 3)

Также, когда они работают вместе, их работа суммируется и равна работе всей задачи: работа = (x + y) * 2

Поскольку они выполняют одну и ту же работу, вы можете приравнять выражения и решить уравнение:

x * t = y * (t - 3)

Теперь разрешим уравнение:

xt = yt - 3y

Перенесем все члены с y на одну сторону:

xt - yt = -3y

Факторизуем y:

y(t - x) = -3y

Для того чтобы уравнение было верным, одна из возможностей - у = 0 (т.к. если у = 0, то x тоже будет равно 0).

Исключим этот вариант, потому что если у = 0, то и рабочий ничего бы не делал, и задача была бы невозможной.

Таким образом, оставляем:

t - x = -3

Теперь, найдем значение t:

t = -3 + x

Мы знаем, что ученик затратит t часов на выполнение работы один, поэтому его время равно (t - 3):

Время ученика (t - 3) = -3 + x - 3 = x - 6

Итак, время рабочего (работа один) равно x - 6 часов.

Таким образом, рабочий, работая один, выполнил бы всю работу за x - 6 часов.