Question

Cos 2х=1+4cosx Помогите с решением уравнения

Answer 1

Помогли тригонометрические формулы.

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем его используя тригонометрические тождества.

Исходное уравнение: cos(2x) = 1 + 4cos(x)

Мы знаем тригонометрическое тождество cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.

Заменим cos(2x) в уравнении на это тождество:

2cos^2(x) - 1 = 1 + 4cos(x)

Теперь приведем все слагаемые в одну сторону уравнения:

2cos^2(x) - 1 - 1 - 4cos(x) = 0

2cos^2(x) - 4cos(x) - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Для решения квадратного уравнения, давайте введем замену, чтобы упростить его:

Пусть z = cos(x), тогда уравнение станет:

2z^2 - 4z - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

Используем квадратное уравнение вида az^2 + bz + c = 0, где a = 2, b = -4 и c = -2.

Для решения квадратного уравнения можно использовать дискриминант (D):

D = b^2 - 4ac

D = (-4)^2 - 4 * 2 * (-2) = 16 + 16 = 32

Так как D > 0, у нас есть два корня:

z1 = (-b + √D) / 2a z2 = (-b - √D) / 2a

z1 = (4 + √32) / 4 ≈ (4 + 5.66) / 4 ≈ 2.165 z2 = (4 - √32) / 4 ≈ (4 - 5.66) / 4 ≈ -0.665

Теперь вернемся к нашей замене и найдем значения cos(x):

cos(x) = z1 ≈ 2.165 cos(x) = z2 ≈ -0.665

Однако косинус может принимать значения только от -1 до 1, так как это граничные значения для косинуса. Поэтому из этих двух корней у нас допустим только один корень:

cos(x) ≈ 2.165

Однако, так как значение косинуса ограничено от -1 до 1, мы видим, что данное уравнение не имеет решений. Возможно, в уравнении была допущена ошибка, или вы хотели решить другое уравнение. Если у вас есть другое уравнение, пожалуйста, предоставьте его, и я буду рад помочь вам с решением.