Question

Найти производную f(x)=sin^4 4x и вычислить ее значение в точке x0 П\ 16

Answer 1

Вычислим производную функции как производную от сложной функции

$f'(x)=(\sin^44x)'=4\sin^34x(\sin 4x)'=4\sin^34x\cos 4x(4x)'=\\ \\ =4\sin^34x\cos 4x\cdot 4=8\sin^24x\sin8x$

Найдем значение функции в точке x0 = pi/16

$f'( \frac{ \pi }{16} )=8\sin^2(4\cdot\frac{ \pi }{16} )\sin(8\cdot\frac{ \pi }{16} )=8\sin^2\frac{ \pi }{4} \cdot \sin\frac{ \pi }{2} =8\cdot \dfrac{1}{2}=4$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = sin^4(4x) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила):

Если у нас есть функция u(g(x)), то производная этой функции по x будет равна произведению производной внешней функции u'(g(x)) на производную внутренней функции g'(x).

В данном случае u(g) = g^4, а g(x) = sin(4x). Найдем производные u'(g) и g'(x) по отдельности.

1. Найдем производную внешней функции u'(g): u(g) = g^4 u'(g) = 4g^3

2. Найдем производную внутренней функции g'(x): g(x) = sin(4x) g'(x) = cos(4x) * 4 (производная синуса это косинус, а угол внутри синуса домножается на производную этого угла)

Теперь применим цепное правило, чтобы найти производную f'(x):

f(x) = sin^4(4x) f'(x) = u'(g(x)) * g'(x) f'(x) = 4 * (sin^3(4x)) * cos(4x)

Теперь найдем значение производной в точке x0 = π/16:

f'(x) = 4 * (sin^3(4x)) * cos(4x)

f'(π/16) = 4 * (sin^3(4 * π/16)) * cos(4 * π/16) f'(π/16) = 4 * (sin^3(π/4)) * cos(π/4)

Значение синуса и косинуса в точке π/4:

sin(π/4) = √2 / 2 cos(π/4) = √2 / 2

Подставляем значения:

f'(π/16) = 4 * ((√2 / 2)^3) * (√2 / 2) f'(π/16) = 4 * (√2 / 8) * (√2 / 2) f'(π/16) = 4 * (√2 / 16) f'(π/16) = √2 / 4

Таким образом, производная функции f(x) = sin^4(4x) в точке x0 = π/16 равна √2 / 4.