Question

1. Вычислить определённый интеграл: а) Интеграл от 2 до 5 4dx; б) Интеграл от 0 до π/2 sinxdx. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y=x^2, x=1, x=3, y=0.

Answer 1

1) а) = 4х| в пределах от 2 до 5 = 20 - 8 = 12

б) = -Cosx | в пределах от 0 до π/2 = -Сosπ/2 - (-Cos0) = 1

2) S = ₁∫³ x²dx = x³/3 | в пределах от 1 до 3 = 27/3 -1/3 = 26/3

Answer 2

1. Вычисление определенных интегралов:

а) Интеграл от 2 до 5 от 4dx: ∫(от 2 до 5) 4 dx

Для вычисления определенного интеграла константу можно выносить за знак интеграла: ∫(от 2 до 5) 4 dx = 4 * ∫(от 2 до 5) dx

Теперь проинтегрируем по переменной x: ∫(от 2 до 5) dx = [x]_(от 2 до 5) = 5 - 2 = 3

Итак, ∫(от 2 до 5) 4 dx = 4 * 3 = 12.

б) Интеграл от 0 до π/2 sinxdx: ∫(от 0 до π/2) sin(x) dx

Интеграл синуса является элементарной функцией: ∫ sin(x) dx = -cos(x)

Теперь вычислим определенный интеграл: ∫(от 0 до π/2) sin(x) dx = [-cos(x)]_(от 0 до π/2) = -cos(π/2) - (-cos(0)) = -0 - (-1) = 1.

2. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями:

а) Фигура ограничена графиками y = x^2, x = 1, x = 3 и осью x (y = 0) на интервале [1, 3].

График функции y = x^2 представляет параболу, которая открывается вверх. Ограничения по оси x составляют x = 1 и x = 3.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функции и осью x, можно использовать определенный интеграл по интервалу [1, 3]:

Площадь = ∫(от 1 до 3) |x^2| dx

Так как функция y = x^2 всегда неотрицательна на данном интервале, модуль |x^2| не нужен:

Площадь = ∫(от 1 до 3) x^2 dx

Для интегрирования кубической функции, используем формулу: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C

Теперь вычислим определенный интеграл: Площадь = [(x^3)/3]_(от 1 до 3) = (3^3)/3 - (1^3)/3 = 27/3 - 1/3 = 26/3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками y = x^2, x = 1, x = 3 и осью x на интервале [1, 3], равна 26/3.