Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции , ограниченной графиком y=x^2 и y=2x

Answer 1

$y=x^2\; ,\; \; y=2x\\\\Tochki\; peresecheniya:\; \; x^2=2x\; ,\; \; x(x-2)=0\; ,x_1=0\; ,\; x_2=2\\\\S=\int\limits^2_0 (2x-x^2)\, dx=(x^2-\frac{x^3}{3})\Big |_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

Answer 2

Точки пересечения (0;0) (2;2)

$S1=\int\limits^2_0 {2x} \, dx =x^2\\S2=\int\limits^2_0 {x^2} \, dx =x^3/3$

S1=4

S2=8/3

S=4-8/3=12/3-8/3=4/3

Ответ:$\frac{4}{3}$

Answer 3

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 2x, следует найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность этих функций в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения:

y = x^2 y = 2x

Для определения точек пересечения приравняем два уравнения:

x^2 = 2x

Приведем квадратное уравнение в стандартную форму:

x^2 - 2x = 0

Решим уравнение:

x(x - 2) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 2.

Теперь вычислим площадь криволинейной трапеции, проинтегрировав разность функций в пределах от x = 0 до x = 2:

Площадь = ∫(y_верхней - y_нижней) dx, где y_верхней - это уравнение верхней кривой (2x), а y_нижней - это уравнение нижней кривой (x^2).

Площадь = ∫(2x - x^2) dx, от x = 0 до x = 2.

Интегрируем:

∫(2x - x^2) dx = x^2 - (x^3 / 3) + C

Теперь вычислим площадь:

Площадь = [(2^2) - ((2^3) / 3)] - [(0^2) - ((0^3) / 3)] Площадь = [4 - (8 / 3)] - [0 - 0] Площадь = (12 / 3) - 0 Площадь = 4 квадратных единицы (единицы площади).

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций y = x^2 и y = 2x, составляет 4 квадратные единицы.