Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x-2, y=x^2-4x+2

Answer 1

X^2-4x+2=x-2
x^2-4x+2-x+2=0
x^2-5x+4=0
D=25-16=9
x1=(5+3)/2*1= 8/2=4
x2=(5-3)/2*1=2/2=1

(1;4)∫(x^2-5x+4) dx = (x^3/3-5x^2/2+4x) |(1;4) = 
=4^3/3-5*4^2/2 +4*4- 1/3+5/2-4 = 64/3-40+16-1/3+5/2-4=
=21-40+16+2,5-4=-4,5=4,5  (т.к. площадь не может быть отрицательной)

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя заданными линиями, нам необходимо найти точки их пересечения. Затем мы найдем определенный интеграл от разности этих двух функций между точками пересечения, чтобы найти площадь фигуры.

1. Найдем точки пересечения двух функций:

y = x - 2 y = x^2 - 4x + 2

Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти два уравнения:

x - 2 = x^2 - 4x + 2

2. Перенесем все в одну сторону:

x^2 - 5x + 4 = 0

3. Решим уравнение квадратного типа для нахождения значений x:

Теперь воспользуемся квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = -5 и c = 4:

x = (5 ± √(5^2 - 4 * 1 * 4)) / 2 * 1

x = (5 ± √(25 - 16)) / 2

x = (5 ± √9) / 2

Таким образом, получаем два значения x:

x₁ = (5 + 3) / 2 = 4 x₂ = (5 - 3) / 2 = 1

4. Теперь вычислим соответствующие значения y для каждого из найденных x:

Для x = 4:

y = 4 - 2 = 2

Для x = 1:

y = 1 - 2 = -1

Таким образом, точки пересечения двух функций: (4, 2) и (1, -1).

5. Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями. Мы возьмем определенный интеграл от разности функций между значениями x₁ и x₂:

Площадь = ∫[x₁, x₂] (x - (x^2 - 4x + 2)) dx

Площадь = ∫[1, 4] (x - x^2 + 4x - 2) dx

Площадь = ∫[1, 4] (-x^2 + 5x - 2) dx

Теперь найдем интеграл:

Площадь = [-x^3/3 + (5x^2)/2 - 2x] от 1 до 4

Площадь = [-4/3 + (80)/2 - 8] - [-1/3 + (5)/2 - 2]

Площадь = [-4/3 + 40 - 8] - [-1/3 + 2.5 - 2]

Площадь = [28.67] - [-0.83]

Площадь ≈ 29.5 квадратных единиц (округлено до одного знака после запятой).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x - 2 и y = x^2 - 4x + 2, составляет примерно 29.5 квадратных единиц.