Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями у=2х^2-8х; у=0

Answer 1

$2x^{2}-8x=0$
$x_{1}=0; x_{2}=4$
$S= -\int\limits^4_0 {(2 x^{2} -8x)} \, dx=- (\frac{2 x^{3}}{3}-4 x^{2})|_{0}^{4}=$
$= \frac{64}{3}$

Answer 2

2x^2-8x=0
2x*(x-4)=0

2x=0
x=0      x-4=0
            x=4

(0;4) ∫(2x^2-8x) dx = ( 2x^3/3-8x^2/2 ) | (0;4) = 2*4^3/3 - 8*4^2/2 = 
=128/3 - 64= 42 2/3- 63 3/3 = -21 1/3  = 21 1/3 ( Т.к. площадь не может быть отрицательной)

Answer 3

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем проинтегрировать функцию площади между этими точками.

Даны две функции:

1. у = 2x^2 - 8x
2. у = 0 (это ось x)

Сначала найдем точки пересечения этих функций, приравняв уравнения друг к другу: 2x^2 - 8x = 0

Факторизуем выражение: 2x(x - 4) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 4.

Теперь вычислим площадь между этими точками. Для этого проинтегрируем функцию 2x^2 - 8x от x = 0 до x = 4:

Площадь = ∫[0 to 4] (2x^2 - 8x) dx

Интегрируем каждый член функции по отдельности: ∫(2x^2) dx - ∫(8x) dx

Интегрируем: (2/3)x^3 - (4x^2)

Теперь найдем значение этого выражения в пределах от 0 до 4 и получим площадь фигуры: Площадь = [(2/3)(4)^3 - (44^2)] - [(2/3)(0)^3 - (40^2)] Площадь = [(2/3)*(64) - 64] - 0 Площадь = [128/3 - 64] = 128/3 - 192/3 = -64/3

Полученное значение площади отрицательное, что означает, что фигура лежит ниже оси x и площадь считается с отрицательным знаком. Чтобы получить абсолютное значение площади, просто возьмем модуль этого числа:

|Площадь| = |(-64/3)| = 64/3 ≈ 21.33 квадратных единицы (округлено до двух знаков после запятой).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x^2 - 8x и y = 0, равна примерно 21.33 квадратных единицы.