Question

Найди площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=x^2, прямыми y=0, x=1 и x=5.

Answer 1

Фото график сам начертите

Answer 2

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) = x^2, прямыми y = 0, x = 1 и x = 5, нужно разделить эту трапецию на две части - верхнюю и нижнюю, и вычислить площади каждой из них.

Начнем с вычисления верхней части. Это будет область между графиком функции f(x) и прямыми x = 1 и x = 5. Поскольку функция f(x) = x^2 неотрицательна на этом интервале, то площадь этой части будет равна интегралу функции f(x) на этом интервале:

$S_{\text{верхней части}} = \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} x^2 \, dx$

Вычислим этот интеграл:

$S_{\text{верхней части}} = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{5} = \left(\frac{5^3}{3}\right) - \left(\frac{1^3}{3}\right) = \frac{125}{3} - \frac{1}{3} = \frac{124}{3}$

Теперь найдем площадь нижней части, которая будет областью под графиком функции f(x) от x = 1 до x = 5. Это также будет равно интегралу функции f(x) на этом интервале, только с отрицательным знаком:

$S_{\text{нижней части}} = -\int_{1}^{5} f(x) \, dx = -\int_{1}^{5} x^2 \, dx$

Вычислим этот интеграл:

$S_{\text{нижней части}} = -\left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{5} = -\left(\frac{5^3}{3}\right) + \left(\frac{1^3}{3}\right) = -\frac{125}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{124}{3}$

Теперь найдем общую площадь трапеции, сложив площади верхней и нижней частей:

$S_{\text{трапеции}} = S_{\text{верхней части}} + S_{\text{нижней части}} = \frac{124}{3} - \frac{124}{3} = 0$

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 0.