Question

Найти производную y=cos(x/x+1)

Answer 1

(x/(x+1))`=(x+1-x)/)x+1)^2=1/(x+1)^2
y`=-sin(x/(x+1))/(x+1)^2

Answer 2

Для нахождения производной функции y = cos(x/(x + 1)), мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Цепное правило гласит, что производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) на производную внутренней функции g'(x).

Давайте выполним шаги для нахождения производной:

1. Выразим функцию y как составную функцию u(v(x)):

u(v(x)) = cos(v(x)), где v(x) = x/(x + 1).

2. Найдем производные внутренней и внешней функций:

dv(x)/dx = d/dx (x/(x + 1)) dv(x)/dx = (1*(x + 1) - x1)/((x + 1)(x + 1)) dv(x)/dx = (x + 1 - x)/((x + 1)(x + 1)) dv(x)/dx = 1/((x + 1)(x + 1))

d(cos(v(x)))/dv(x) = -sin(v(x))

3. Применим цепное правило:

dy/dx = du/dv * dv/dx dy/dx = -sin(v(x)) * (1/((x + 1)*(x + 1)))

4. Заменим v(x) обратно на исходную форму:

dy/dx = -sin(x/(x + 1)) * (1/((x + 1)*(x + 1)))

Таким образом, производная функции y = cos(x/(x + 1)) равна -sin(x/(x + 1)) * (1/((x + 1)*(x + 1))).