Question

Срочно помогите!!! найти экстремум функции z=x^2+y^2 при условии 2x + 2y =3

Answer 1

Первое уравнение-это конус полый, при z=0-точка и при увеличении z-будут окружности с радиусом √z в сечении
вторая поверхность -это плоскость параллельная оси z
пересечением их будет парабола, вершину этой параболы и надо найти
Чтобы найти ее из второго уравнения выражу переменную и подставлю в первое
x=(3-2y)/2=1.5-y
z=(3/2-y)^2+y^2=9/4-3y+y^2+y^2=2y^2-3y+9/4
так как нужно экстремальное значение-найду производную и приравняю ее к 0
4y-3=0
y=3/4
x=1.5-0.75=0.75
Ответ минимальная точка (0.75;0.75)

Answer 2

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для поиска экстремума функции z = x^2 + y^2 при условии 2x + 2y = 3, воспользуемся методом множителей Лагранжа. Этот метод позволяет найти условный экстремум функции при наличии некоторого условия (такого как 2x + 2y = 3).

Шаги решения:

1. Запишем функцию Лагранжа: L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(2x + 2y - 3)

2. Найдем частные производные функции L по x, y и λ: dL/dx = 2x + 2λ dL/dy = 2y + 2λ dL/dλ = 2x + 2y - 3

3. Равенства частных производных нулю и условие 2x + 2y = 3 позволят нам найти критические точки.

Решим систему уравнений:

1. Уравнение частных производных по x и λ: 2x + 2λ = 0 ...(1)

2. Уравнение частных производных по y и λ: 2y + 2λ = 0 ...(2)

3. Уравнение условия 2x + 2y = 3: 2x + 2y = 3 ...(3)

Умножим уравнение (1) на 2 и вычтем уравнение (2):

4x - 2y = 0

Теперь сложим уравнения (3) и (4x - 2y = 0):

4x + 2y = 3

Разделим полученное уравнение на 2:

2x + y = 3/2

Теперь выразим y через x из уравнения (2x + y = 3/2):

y = 3/2 - 2x

Теперь подставим это выражение для y в уравнение условия (2x + 2y = 3):

2x + 2(3/2 - 2x) = 3

2x + 3 - 4x = 3

Теперь перенесем все члены с x на одну сторону:

2x - 4x = 3 - 3

-2x = 0

Таким образом, x = 0.

Теперь найдем y, подставив x = 0 в уравнение (2x + y = 3/2):

2(0) + y = 3/2

y = 3/2

Таким образом, критическая точка (x, y) равна (0, 3/2).

Теперь найдем значение z в этой критической точке:

z = x^2 + y^2

z = 0^2 + (3/2)^2

z = 9/4

Таким образом, значение функции z = x^2 + y^2 достигает своего минимума в критической точке (0, 3/2) и равно 9/4.