Question

Решите неравенство |x^2-|x|+1|<=10-|x|

Answer 1

$| {x}^{2} - |x| + 1 | \leqslant 10 - |x| \\ 1) {x}^{2} - |x| + 1 \geqslant 0 \: \: \: and \: x \geqslant 0 \\x \in\mathbb R \\ {x }^{2} - x + 1 \leqslant 10 - x \\ {x}^{2} \leqslant 9 \\ {x}^{2} = 9 \\ x = ± 3 \\ x\in[ - 3;3] \\x\in[ 0;3] \\ 2) {x}^{2} - |x| + 1 < 0 \: \: \: and \: \: \: x < 0 \\ x\in\varnothing \\ - ({x}^{2} - ( - x) + 1) \leqslant 10 + x \\ - {x}^{2} - x - 1 - 10 - x \leqslant 0 \\ - {x}^{2} - 2x - 11 \leqslant 0 \\ x \in\mathbb R \\ 3) {x}^{2} - |x| + 1 \geqslant 0 \: \: \: and \: x < 0 \\ {x}^{2} + x + 1 \leqslant 10 + x \\ {x}^{2} \leqslant 9 \\ x\in[ - 3;3] \\ x\in[ - 3;0) \\ 4) {x}^{2} - |x| + 1 < 0 \: \: \: and \: \: \: x \geqslant 0 \\ x\in\varnothing \\ - {x}^{2} + x - 1 \leqslant 10 - x \\ - {x}^{2} + 2x - 11 \leqslant 0 \\ x \in\mathbb R$
Объединяя промежутки получаем ответ:
$x\in[ - 3;3]$

Answer 2

Для решения данного неравенства, нужно разбить его на несколько случаев, и затем рассмотреть каждый случай отдельно.

Начнем с выражения внутри модуля: |x^2 - |x| + 1|

Теперь рассмотрим различные значения x и определим, когда неравенство выполняется:

1. Пусть x ≥ 0:

Тогда |x| = x, и неравенство становится: |x^2 - x + 1| ≤ 10 - x

2. Пусть x < 0:

Тогда |x| = -x, и неравенство становится: |x^2 + x + 1| ≤ 10 + x

Теперь рассмотрим каждый из этих двух случаев по отдельности.

1. x ≥ 0:

|x^2 - x + 1| ≤ 10 - x

1.1. Рассмотрим выражение внутри модуля x^2 - x + 1:

Для определения, когда оно положительно или равно нулю, найдем его корни:

x^2 - x + 1 = 0

Дискриминант D = (-1)^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет вещественных корней, а значит, x^2 - x + 1 > 0 для всех значений x.

1.2. В этом случае, неравенство сводится к: x^2 - x + 1 ≤ 10 - x

1.3. Переносим все слагаемые на одну сторону неравенства: x^2 + x - 9 ≤ 0

1.4. Решаем квадратное неравенство:

(x - 3)(x + 3) ≤ 0

Далее строим таблицу знаков:

x | x - 3 | x + 3 | (x - 3)(x + 3)

-3 | -6 | 0 | 0 0 | -3 | 3 | 0 3 | 0 | 6 | 0

Неравенство (x - 3)(x + 3) ≤ 0 выполняется при -3 ≤ x ≤ 3.

2. x < 0:

|x^2 + x + 1| ≤ 10 + x

2.1. Рассмотрим выражение внутри модуля x^2 + x + 1:

Для определения, когда оно положительно или равно нулю, найдем его корни:

x^2 + x + 1 = 0

Дискриминант D = 1 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет вещественных корней, а значит, x^2 + x + 1 > 0 для всех значений x.

2.2. В этом случае, неравенство сводится к: x^2 + x + 1 ≤ 10 + x

2.3. Переносим все слагаемые на одну сторону неравенства: x^2 - 9 ≤ 0

2.4. Решаем квадратное неравенство:

(x - 3)(x + 3) ≤ 0

Заметим, что решение этого неравенства такое же, как в предыдущем случае: -3 ≤ x ≤ 3.

Таким образом, объединяем решения из обоих случаев:

-3 ≤ x ≤ 3

Ответ: -3 ≤ x ≤ 3.