Question

Найти множество значений функции: y = 10 - 8*cos²9x * sin²9x.

Answer 1

$y=10-8\, cos^2x\cdot sin^29x\\\\y=10-2\cdot (2\, sin9x\cdot cos9x)^2=10-2\cdot sin^218x=2\cdot (5-sin^218x)\\\\0\leq sin^218x\leq 1\\\\-1\leq (-sin^218x)\leq 0\\\\5-1\leq (5-sin^218x)\leq 5+0\\\\4\leq (5-sin^218x)\leq 5\\\\8\leq 2\cdot (5-sin^218x)\leq 10\\\\y\in [\, 8,10\, ]$

Answer 2

Для нахождения множества значений функции y = 10 - 8*cos²(9x) * sin²(9x), нужно определить, какие значения может принимать данная функция при изменении значения x.

Первым шагом является анализ функции внутри скобок. Обратим внимание, что умножение квадратов косинуса и синуса приводит к тождеству тригонометрии:

cos²θ * sin²θ = (1 - sin²θ) * sin²θ = sin²θ - sin⁴θ.

Теперь, подставим это в нашу исходную функцию:

y = 10 - 8 * (sin²θ - sin⁴θ).

y = 10 - 8sin²θ + 8sin⁴θ.

Теперь у нас есть функция, зависящая только от sin²θ. Мы знаем, что значение sin²θ всегда находится в интервале [0, 1], так как sin²θ не может быть меньше нуля и не может превышать единицу.

Таким образом, множество значений функции y равно интервалу от минимального значения 10 - 8 * 1 + 8 * 1⁴ = 2 до максимального значения 10 - 8 * 0 + 8 * 0⁴ = 10.

Таким образом, множество значений функции y = 10 - 8*cos²(9x) * sin²(9x) есть интервал [2, 10].