Question

Помогите ! Доказать что если а>=1 b>=1 То a×корень(b-1)+b×корень(a-1)<=a×b

Answer 1

..........................

Answer 2

Для доказательства неравенства a×корень(b-1) + b×корень(a-1) <= a×b при условии a >= 1 и b >= 1, выполним следующие шаги:

1. Предположим, что a и b - целые числа.
2. Докажем, что неравенство выполняется для случая a и b равных 1.
3. Докажем, что неравенство верно для случая a и b больше 1.

Шаг 1: Предположение о целых числах.

Допустим, a и b - целые числа, и удовлетворяют условиям a >= 1 и b >= 1.

Шаг 2: Докажем неравенство для случая a и b равных 1.

Подставим a = 1 и b = 1 в исходное неравенство:

1×корень(1-1) + 1×корень(1-1) <= 1×1 1×корень(0) + 1×корень(0) <= 1 0 + 0 <= 1 0 <= 1

Так как 0 меньше или равно 1, условие выполняется.

Шаг 3: Докажем неравенство для случая a и b больше 1.

Рассмотрим выражение a×корень(b-1) + b×корень(a-1) и выразим корни в терминах квадратных корней:

a×корень(b-1) + b×корень(a-1) = a×корень(b-1) + b×корень(a-1) × корень(b-1) / корень(b-1) = a×корень(b-1) + b×корень((a-1)(b-1)) / корень(b-1) = a×корень(b-1) + b×корень(ab - a - b + 1) / корень(b-1)

Теперь умножим обе части неравенства на корень(b-1):

(a×корень(b-1) + b×корень(ab - a - b + 1)) × корень(b-1) <= a×b × корень(b-1)

Раскроем скобки:

a×(корень(b-1))^2 + b×корень(b-1) × корень(ab - a - b + 1) <= a×b × корень(b-1)

Так как (корень(b-1))^2 = b-1, и корень(b-1) × корень(ab - a - b + 1) = корень((b-1)(ab - a - b + 1)), получим:

a×(b-1) + корень((b-1)(ab - a - b + 1)) <= a×b × корень(b-1)

Теперь возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(a×(b-1) + корень((b-1)(ab - a - b + 1)))^2 <= (a×b × корень(b-1))^2

a^2(b-1)^2 + 2a(b-1)корень((b-1)(ab - a - b + 1)) + (b-1)(ab - a - b + 1) <= a^2b^2(b-1)

Теперь упростим выражение:

a^2(b^2 - 2b + 1) + 2a(b-1)корень((b-1)(ab - a - b + 1)) + (b-1)(ab - a - b + 1) <= a^2b^2(b-1)

a^2b^2 - 2a^2b + a^2 + 2a(b-1)корень((b-1)(ab - a - b + 1)) + (b-1)(ab - a - b + 1) <= a^2b^2(b-1)

Вычтем a^2b^2(b-1) из обеих частей неравенства:

-2a^2b + a^2 + 2a(b-1)корень((b-1)(ab - a - b + 1)) + (b-1)(ab - a - b + 1) <= 0

Выделим общий множитель в первых двух членах:

a^2(-2b + 1) + 2a(b-1)корень((b-1)(ab - a - b + 1)) + (b-1)(ab - a - b + 1) <= 0

Факторизуем первое слагаемое:

a^2(1 - 2b) + 2a(b-1)корень((b-1)(ab - a - b + 1)) + (b-1)(ab - a - b + 1) <= 0

Так как a^2, (1 - 2b), и (b-1)(ab - a - b + 1) >= 0 из условия a >= 1 и b >= 1, то для неравенства выполнено:

2a(b-1)корень((b-1)(ab - a - b + 1)) <= 0

Так как a и (b-1) > 0 из условия a >= 1 и b >= 1, то:

корень((b-1)(ab - a - b + 1)) <= 0

Теперь квадрат обеих частей:

(b-1)(ab - a - b + 1) <= 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. (b-1) > 0, тогда ab - a - b + 1 <= 0
2. (b-1) = 0, тогда b = 1 и ab - a - b + 1 = a - a = 0

В обоих случаях выполняется неравенство (b-1)(ab - a - b + 1) <= 0.

Таким образом, мы доказали, что для всех значений a >=