Question

Катя написала на чистой доске несколько натуральных чисел. Саша записал под каждым число его квадрата, а Рома сложил все записанные на доске числа и получил 2019.Докажите , что кто-то из мальчиков ошибся

Answer 1

в числе 2019 есть ошибка 0 это не натуральное число! Вот и ошибка

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию подробнее и посмотрим, что происходит.

Пусть Катя записала на доске n натуральных чисел: a1, a2, ..., an.

Саша записал под каждым числом его квадрат: a1^2, a2^2, ..., an^2.

Рома сложил все записанные числа и получил 2019:

a1^2 + a2^2 + ... + an^2 = 2019.

Мы знаем, что 2019 = 3 * 673, а также, что 2019 состоит из 4 цифр. Рассмотрим несколько фактов:

1. Каждый квадрат натурального числа будет неотрицательным, поэтому сумма квадратов также будет неотрицательной. Это означает, что все ai должны быть меньше или равными 44 (потому что 44^2 = 1936, а 45^2 = 2025).

2. Сумма 2019 не может быть достигнута, если каждое число ai больше 1, так как минимальная возможная сумма квадратов натуральных чисел больше 2019.

Теперь допустим, что все числа ai, записанные Катей, больше 1. Как мы уже установили, минимальное значение каждого квадрата ai^2 будет 4 (если ai = 2), а максимальное значение каждого квадрата будет 1936 (если ai = 44). Поскольку сумма 2019 находится между 4 и 1936, она не может быть представлена суммой квадратов натуральных чисел, каждое из которых больше 1. Это означает, что как минимум одно из чисел ai равно 1.

Допустим, без ограничения общности, что a1 = 1. Тогда у нас есть:

1 + a2^2 + a3^2 + ... + an^2 = 2019.

Теперь, поскольку a2, a3, ..., an также являются натуральными числами, их квадраты (a2^2, a3^2, ..., an^2) будут больше или равны 1. Следовательно:

1 + a2^2 + a3^2 + ... + an^2 ≥ 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n.

Но с другой стороны, мы знаем, что:

1 + a2^2 + a3^2 + ... + an^2 = 2019.

Сравнив эти два неравенства, получаем:

n ≤ 2019.

Но мы также знаем, что каждое ai должно быть меньше или равным 44. Это означает, что n * 44^2 (максимальное значение суммы квадратов n натуральных чисел, каждое из которых меньше или равно 44) будет меньше 2019.

n * 44^2 = n * 1936 < 2019.

Полученное неравенство противоречит предыдущему неравенству, и, следовательно, наше предположение о том, что все ai больше 1, было неверным. Поэтому, как минимум одно из чисел ai должно быть равно 1.

Таким образом, кто-то из мальчиков ошибся, потому что нельзя представить 2019 в виде суммы квадратов натуральных чисел, каждое из которых больше 1.