Question

Найти приращение Δу функции у= х²-1 в точке х0= 1, соответствующее приращению аргумента Δх, вычислить производную в этой точке.

Answer 1

∆y = y(x0 + ∆x) - y(x0) = (x + ∆x)^3 - x^3 = x^3 + 3x^2∆x + 3x∆x^2 +∆x^3 - x^3 = 3x^2∆x + 3x∆x^2 +∆x^3 =  

12*0.1 + 6*0.01 + 0.001 = 1.2 + 0.06 + 0.001 = 1.261

Answer 2

Для начала найдем приращение функции у(x) = x² - 1 в точке x₀ = 1 при приращении аргумента Δx. Приращение функции обозначается как Δу (delta y) и вычисляется следующим образом:

Δу = у(х₀ + Δх) - у(х₀)

Где: у(х₀ + Δх) - значение функции у в точке х₀ + Δх у(х₀) - значение функции у в точке х₀

Теперь вычислим приращение функции у:

у(1 + Δх) = (1 + Δх)² - 1 = (1 + Δх)² - 1 = 1 + 2Δх + Δх² - 1 = 2Δх + Δх²

у(1) = 1² - 1 = 1 - 1 = 0

Δу = (2Δх + Δх²) - 0 = 2Δх + Δх²

Теперь вычислим производную функции у(x) = x² - 1 в точке х₀ = 1. Производная функции в точке х₀ обозначается как у'(х₀) или f'(х₀) и вычисляется как предел разности функции у при приращении аргумента Δx, деленной на само приращение Δx, при Δx стремящемся к нулю:

у'(х₀) = lim (Δу/Δх) при Δx -> 0

У нас уже есть приращение функции Δу = 2Δх + Δх², поэтому мы можем записать:

у'(1) = lim ((2Δх + Δх²)/Δх) при Δx -> 0

Теперь найдем предел выражения при Δx стремящемся к нулю:

у'(1) = lim (2 + Δх) при Δx -> 0

При Δx стремящемся к нулю, 2 + Δх также стремится к 2:

у'(1) = 2

Итак, приращение функции Δу = 2Δх + Δх² при приращении аргумента Δx, соответствующее приращению аргумента Δx = 1, равно:

Δу = 2 * 1 + 1² = 3

А производная функции у(x) = x² - 1 в точке х₀ = 1 равна:

у'(1) = 2