Question

Найти наибольшую площадь полной поверхности цилиндра вписанного в сферу радиуса R

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1. Радиус шара R, высота цилиндра h, и радиус цилиндра r - связаны следующей зависимостью:  

 

4r^2+h^2 = 4R^2  

 

2. Выражаете из этой зависимости высоты h, и подставляете в уравнение площади боковой поверхности цилиндра.  

 

3. Определяете производную полученной функции и приравниваете ее нулю. Решение полученного уравнения и есть искомая величина высоты.  

 

Если возникнут дополнительные вопросы - пишите в агент.

Answer 2

Чтобы найти наибольшую площадь полной поверхности цилиндра, который вписан в сферу радиуса R, нужно определить соотношение между радиусами цилиндра и сферы, при котором площадь цилиндра будет максимальной.

Пусть r - радиус цилиндра, R - радиус сферы.

По условиям задачи, цилиндр вписан в сферу, что означает, что цилиндр ограничен сферой, и его высота h будет равна диаметру сферы (2R).

Таким образом, поверхность цилиндра состоит из двух частей: боковой поверхности и двух оснований.

1. Боковая поверхность цилиндра: это прямоугольник, вырезанный из полной поверхности сферы, и её площадь равна окружности дна цилиндра умноженной на высоту цилиндра, т.е., S_bok = 2 * π * r * h.

2. Площадь двух оснований: два круга с радиусом r, т.е., S_osn = 2 * π * r^2.

Теперь, чтобы получить полную площадь поверхности цилиндра (S), сложим боковую поверхность и площади оснований: S = S_bok + S_osn.

Так как высота цилиндра h = 2R, то:

S = 2 * π * r * 2R + 2 * π * r^2 S = 4 * π * r * R + 2 * π * r^2

Для максимизации площади S, возьмем производную и приравняем ее к нулю:

dS/dr = 4 * π * R + 4 * π * r = 4 * π * (R + r) = 0

Отсюда получаем, что R + r = 0, и решением этого уравнения является r = R.

Таким образом, наибольшая площадь полной поверхности цилиндра вписанного в сферу радиуса R будет при радиусе цилиндра r = R.