Question

Вариант 2 А1. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 20π, а высота цилиндра равна 5. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. ¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π А2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 см2 , площадь основания равна 8 см2 . Вычислить высоту и площадь боковой поверхности цилиндра. А3. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых одно осевое с площадью, равной S. Угол между плоскостями сечений равен 45о . Найдите площадь второго сечения. B1. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус основания равен 5 см, высота цилиндра равна 6 см, АВ=10 см. Определите расстояние между прямой АВ и осью цилиндра. В2. Радиус основания цилиндра равен r . В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат со стороной a так, что все его вершины находятся на окружностях оснований. Найдите высоту цилиндра. С1. Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью его основания равен β. Вычислите угол между диагональю развертки его боковой поверхности и стороной основания развертки.

Answer 1

A1.  Sбп=$2 \pi rh$
       $2 \pi r=4 \pi$
       $r = 2$
       $S= 2 \pi rh+2 \pi r^{2}$
       $S = 20 \pi +2* \pi * 2^{2} = 28 \pi$

Answer 2

А1. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 20π, а высота цилиндра равна 5. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 2πrh, где r - радиус основания, h - высота цилиндра. Подставив данные значения, получим площадь боковой поверхности - 2π*5*5 = 50π. Площадь двух оснований равна 2πr^2, где r - радиус основания. Подставив значение радиуса, получим площадь оснований - 2π*5^2 = 50π. Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований, то есть 50π + 50π = 100π. Ответ: 100π.

А2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению периметра основания на высоту цилиндра. Площадь основания равна 8 см^2, а площадь боковой поверхности равна 16 см^2. Таким образом, периметр основания равен 8/2 = 4 см. По формуле площади боковой поверхности, получаем 16 = 4h, откуда h = 4 см. Таким образом, высота цилиндра равна 4 см. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2πrh, подставляя значения r = 4 и h = 4, получаем 2π*4*4 = 32π. Ответ: высота цилиндра - 4 см, площадь боковой поверхности - 32π.

А3. Площадь сечения цилиндра равна S. Угол между плоскостями сечений равен 45°. Площадь второго сечения можно найти, зная, что отношение площадей сечений равно отношению квадратов расстояний от точки пересечения сечений до образующей цилиндра. Таким образом, площадь второго сечения равна S*(d2/d1)^2, где d1 и d2 - расстояния от точки пересечения сечений до образующей цилиндра. Так как угол между плоскостями сечений равен 45°, то отношение расстояний d2/d1 можно найти по формуле tg(45°) = 1. Таким образом, площадь второго сечения равна S*(1^2) = S. Ответ: площадь второго сечения равна S.

B1. Расстояние между прямой АВ и осью цилиндра можно найти, используя формулу для расстояния от точки до прямой. Расстояние d от точки до прямой можно найти по формуле d = |ax0 + by0 + c|/√(a^2 + b^2), где (x0, y0) - координаты точки, a и b - коэффициенты уравнения прямой, c - свободный член уравнения прямой. Уравнение прямой можно найти, используя координаты точек А и В, и зная уравнение окружности основания цилиндра. После нахождения уравнения прямой, можно подставить координаты точки А (или В) и вычислить расстояние d. Ответ: расстояние между прямой АВ и осью цилиндра.

B2. Высоту цилиндра можно найти, используя формулу для объема цилиндра, так как вписанный в цилиндр квадрат делит его объем на 4 равных части. Объем цилиндра равен πr^2h, где r - радиус основания, h - высота цилиндра. Таким образом, объем цилиндра равен 4a^2h, где a - сторона вписанного квадрата. Выразив h, получаем h = 4a^2/πr^2. Ответ: высота цилиндра.

C1. Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью его основания равен β. Угол между диагональю развертки его боковой поверхности и стороной основания развертки можно найти, используя геометрические свойства параллелограмма, образованного диагональю развертки и стороной основания. Угол между диагональю и стороной параллелограмма равен углу между диагональю и плоскостью основания. Ответ: угол между диагональю развертки боковой поверхности и стороной основания развертки.