Question

Даны координаты вершин треугольника ABC A(-1;5) B(1;15) C(9;11). Найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) уравнение медианы АЕ; 4) уравнение окружности, для которой АЕ служит диаметром.

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника ABC A(-1;5) B(1;15) C(9;11). Найти:

1) уравнение стороны АВ.

АВ: (х + 1)/2 = (у - 5)/10  это каноническое уравнение.

Сократим на 2.   5х + 5= у - 5,  

у - 5х - 10 = 0  уравнение общего вида.

у = 5х + 10      уравнение с угловым коэффициентом.  к(АВ) = 5.

2) уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ.

к(СД) = -1/к(АВ) = -1/5.      СД: у = (-1/5)х + в.

Для определения в подставим координаты точки С:

11 = (-1/5)*9 + в.     в = 11 + (9/5) = 64/5.  

АД: у = (-1/5)х+ (64/5)  или     х + 5у - 64 = 0.

3) уравнение медианы АЕ.

Находим координаты точки Е как середины отрезка ВС.

Е = ((1+9)/2=5; (15+11)/2=13) = (5; 13).   Точка A(-1;5).

Уравнение АЕ: (х + 1)/6 = (у - 5)/8  или 4х - 3у + 19 = 0.

Или у = (4/3)х + (19/3).

4) уравнение окружности, для которой АЕ служит диаметром.

Находим радиус R заданной окружности как половину отрезка АЕ и её центр (точка О). Точка A(-1;5), точка  Е(5; 13). О(2; 9).

R = (1/2)√(6² + 8²) = (1/2)√(36 + 64) = (1/2)√100 = 10/2 = 5.

Уравнение окружности: (х - 2)² + (у - 9)² = 5².

Answer 2

Для решения задачи, давайте последовательно выполним каждый пункт.

1. Уравнение стороны AB: Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(-1;5) и B(1;15). Используем формулу для нахождения уравнения прямой через две точки (x1, y1) и (x2, y2):

Уравнение прямой: y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)

Для точек A(-1;5) и B(1;15) получаем: y - 5 = (15 - 5) / (1 - (-1)) * (x - (-1))

Упростим: y - 5 = 10 / 2 * (x + 1) y - 5 = 5 * (x + 1) y = 5x + 5 + 5 y = 5x + 10

Таким образом, уравнение стороны AB: y = 5x + 10.

2. Уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону AB: Высота перпендикулярна стороне AB и проходит через вершину C(9;11).

Уравнение высоты будет иметь вид: x = константа

Так как высота перпендикулярна стороне AB, то ее уравнение имеет вид x = x_С, где x_С - абсцисса точки С.

Таким образом, уравнение высоты CD: x = 9.

3. Уравнение медианы AE: Медиана делит сторону AB пополам и проходит через вершину A(-1;5).

Найдем координаты точки E, которая является серединой стороны AB:

x_E = (x_A + x_B) / 2 = (-1 + 1) / 2 = 0 y_E = (y_A + y_B) / 2 = (5 + 15) / 2 = 10

Таким образом, координаты точки E: E(0;10).

Уравнение медианы AE будет иметь вид: y = kx + b, где k - коэффициент наклона, b - y-перехват.

Найдем коэффициент наклона k:

k = (y_E - y_A) / (x_E - x_A) = (10 - 5) / (0 - (-1)) = 5 / 1 = 5

Теперь найдем y-перехват b:

b = y_A - k * x_A = 5 - 5 * (-1) = 5 + 5 = 10

Таким образом, уравнение медианы AE: y = 5x + 10.

4. Уравнение окружности, для которой AE служит диаметром: Для того чтобы найти уравнение окружности с диаметром AE, нам нужно найти радиус окружности и её центр.

Радиус окружности равен половине длины стороны AE:

Длина AE = √((x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2) = √((0 - (-1))^2 + (10 - 5)^2) = √(1 + 25) = √26

Радиус окружности = √26 / 2 = √26 / 2 * √26 / 2 = 13 / 2

Центр окружности будет находиться на середине отрезка AE, т.е. у точки E(0;10).

Таким образом, уравнение окружности: (x - 0)^2 + (y - 10)^2 = (13 / 2)^2 x^2 + (y - 10)^2 = 169 / 4

Это и есть уравнение окружности с диаметром AE.