Question

Даны вершины: A, B, C треугольника ABC на плоскости. Найти: а)уравнение стороны AB; б)уравнение высоты CH , опущенной из вершины C на сторону AB ; в) уравнение медианы AM (M - середина BC ); г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH ; д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .Координаты : (1, 7), (−3, −1), (11, − 3).

Answer 1

Даны вершины треугольника А(1, 7), В(−3, −1), С(11, − 3).

а)уравнение стороны AB;

АВ = x  -  1 = y   -    7  

          -4        -8    

AB = -8 x + 8 = -4 y + 28

AB = -8 x + 4 y - 20 = 0

. Сократим на -4:

АВ =     2х  - у  + 5 = 0

б) уравнение высоты CH , опущенной из вершины C на сторону AB ;

Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0, представляется уравнением  A(y-y1)-B(x-x1)=0.

У нас: СН = 2(у - (-3)) - (-1)(х - 11) = 0  или х + 2у - 5 = 0.

в) уравнение медианы AM (M - середина BC );

Находим координаты точки М = ((-3+11)/2=4; (-1-3)/2=-2) = (4; -2).

АМ = (х - 1)/(4 - 1) = (у - 7)/(-2 - 7),

АМ = (х - 1)/3 = (у - 7)/(-9),

АМ = 3х + у - 10 = 0.

г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH ;

СН =  х + 2у - 5 = 0. (умн(-3))   -3 х - 6у + 15 = 0.

АМ = 3х + у - 10 = 0                  3х + у - 10 = 0    

                                                         -5у + 5 = 0      у = 1.

                                                      х = 5 - 2у = 5 - 2*1 =3.

Точка N(3; 1).    

д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

C║АВ = x  -  11 = y   +    3  

                 - 4                      - 8

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пункт по очереди.

а) Уравнение стороны AB: Пусть точки A(x1, y1) и B(x2, y2) - координаты вершин треугольника ABC. Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно записать в виде: (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)

Подставляя координаты A(1, 7) и B(-3, -1): (y - 7) / (-1 - 7) = (x - 1) / (-3 - 1) (y - 7) / (-8) = (x - 1) / (-4) 4(y - 7) = -8(x - 1) 4y - 28 = -8x + 8 4y = -8x + 36

Это уравнение стороны AB.

б) Уравнение высоты CH, опущенной из вершины C на сторону AB: Высота перпендикулярна стороне AB и проходит через вершину C(11, -3).

Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку (11, -3), имеет вид: x = 11

Это уравнение высоты CH.

в) Уравнение медианы AM (M - середина BC): Середина отрезка BC - это точка M((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2), где (x2, y2) - координаты B, а (x3, y3) - координаты C.

Подставляя координаты B(-3, -1) и C(11, -3): M(x, y) = ((-3 + 11) / 2, (-1 - 3) / 2) M(x, y) = (4, -2)

Уравнение медианы AM, проходящей через точку M(4, -2) и A(1, 7), можно найти, используя формулу наклона прямой: (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)

Подставляя координаты A(1, 7) и M(4, -2): (y - 7) / (-2 - 7) = (x - 1) / (4 - 1) (y - 7) / (-9) = (x - 1) / 3 3(y - 7) = -9(x - 1) 3y - 21 = -9x + 9 3y = -9x + 30

Это уравнение медианы AM.

г) Точка N пересечения медианы AM и высоты CH: Так как уравнение вертикальной прямой CH уже было найдено (x = 11), точка пересечения с уравнением медианы AM можно найти, подставив x = 11 в уравнение медианы: 3y = -9 * 11 + 30 3y = -99 + 30 3y = -69 y = -23

Таким образом, точка N имеет координаты (11, -23).

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину C и параллельной стороне AB: Параллельная прямая будет иметь тот же наклон, что и сторона AB.

Исходное уравнение стороны AB: 4y = -8x + 36 Угловой коэффициент (наклон) стороны AB: -8 / 4 = -2

Так как параллельная прямая проходит через точку C(11, -3), уравнение этой прямой можно записать в виде: (y - y1) = m * (x - x1)

Подставляя координаты C(11, -3) и угловой коэффициент m = -2: (y - (-3)) = -2 * (x - 11) y + 3 = -2x + 22 y = -2x + 19

Это уравнение прямой, проходящей через вершину C и параллельной стороне AB.