Question

Даны вершины треугольника ABC. Найти: 1. уравнение стороны ab 2. уравнение высоты Ch 3. уравнение медианы am 4. точку n пересечения медианы am и высоты Ch 5. уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне ab 6. расстояние от точки c до прямой ab Координаты вершин : A(-4;2) B(8;-6); C(2;6)

Answer 1

$A(-4;2), \ B(8;-6), \ C(2;6).$


1) Уравнение стороны $AB$ это уравнение прямой, проходящей через точки $(-4;2)$ и $(8;-6)$. Исходя из этого составим систему уравнений:$\begin{cases} & -4a+b=2 \\ & 8a+b=-6 \end{cases}$
Откуда после вычитания второго из первого получим $a=- \dfrac{2}{3}$ и $b= -\dfrac{2}{3}$. Получили, что сторона $AB$ задаётся уравнением $y= -\dfrac{2}{3} x- \dfrac{2}{3}$.


2) Прямые, заданные уравнениями $y_1=k_1x+b_1$ и $y_2=k_2x+b_2$ будут перпендикулярны, если $k_1\cdot k_2 =-1$ , коэффициенты $k_1$ и $k_2$ называются угловыми коэффициентами. 
Нам же нужно найти уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой $y= -\dfrac{2}{3} x- \dfrac{2}{3}$. Тогда $k_2= \dfrac{-1}{k_1} = \dfrac{-1}{ -\dfrac{2}{3}} =1,5$ , где $k_2$ - это угловой коэффициент прямой $CH_C$. Получаем, что эту прямую можно записать в виде $y=1,5x+b$ . Теперь, зная, что эта прямая проходит через точку $(2;6)$ , найдём $b$ :
 $1,5\cdot2+b=6$ , откуда $b=3$ . Получается, что высота $CH_C$ задаётся уравнением $y=1,5x+3$.


3) Медиана $AM_A$ делит отрезок $BC$ пополам. Вычислим координаты середины отрезка $BC$ , т.е. точку пересечения медианы со стороной $BC$ : $M_A\left( \dfrac{2+8}{2}; \dfrac{6+(-6)}{2} \right)=M_A\left(5;0\right)$ .
Получается, что медиана проходит через точки $(5;0)$ и $(-4;2)$ . Найдём её уравнение по этим данным: 
$\begin{cases} & a\cdot5+b=0 \\ & a\cdot(-4)+b=2 \end{cases}$
Откуда получаем $a= -\dfrac{2}{9}$ и $b= \dfrac{10}{9}$ .
Значит, медиана задаётся уравнением $y= -\dfrac{2}{9} x+ \dfrac{10}{9}$ .


4) Точку пересечения $N$ медианы $AM_A$ и высоты $CH_C$ найдём, решив соответствующую систему уравнений:

$\begin{cases} & y=-\frac{2}{9}x+\frac{10}{9} \\ & y=\frac{3}{2}x+3 \end{cases}\ \ \Leftrightarrow \ -\frac{31}{18}x=\frac{17}{9} \\ \Leftrightarrow \ x=-\frac{34}{31} \ ; \ \ y=\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{34}{31}\right)+3=\frac{42}{31} .$ 

Получили, что медиана $AM_A$ и высота $CH_C$ пересекаются в точке $N\left( -\dfrac{34}{31} ; \dfrac{42}{31} \right)$ .


5) Семейство прямых, параллельных прямой $y= -\dfrac{2}{3} x- \dfrac{2}{3}$ , выглядит следующим образом: $y= -\dfrac{2}{3} x+b$. Нам нужно, чтобы эта параллельная прямая проходила через точку $(2;6)$ .
Решаем соответствующее уравнение: $6= -\dfrac{2}{3} \cdot2+b$ , откуда $b= \dfrac{22}{3}$ . 
Получили, что нужная нам прямая задаётся уравнением $y=- \dfrac{2}{3}x + \dfrac{22}{3} .$



6) Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $ax+by+c=0$ вычисляется по формуле $d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Нам нужно расстояние от точки $C(2;6)$ до прямой $y=- \frac{2}{3}x- \frac{2}{3} \ \ \Leftrightarrow \ \ 3y+2x+2=0$ .
Подставляем:
$d= \dfrac{|2\cdot2+3\cdot6+2|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \dfrac{24}{\sqrt{13}}$.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся различными свойствами треугольников и формулами, чтобы найти уравнения стороны, высоты, медианы, точки пересечения медианы и высоты, уравнение прямой и расстояние от точки до прямой.

1. Уравнение стороны AB: Используем формулу расстояния между двумя точками: \[ AB: \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] \[ AB: \sqrt{(8 - (-4))^2 + ((-6) - 2)^2} \] \[ AB: \sqrt{144 + 64} \] \[ AB: \sqrt{208} \] \[ AB: 4\sqrt{13} \]

Таким образом, уравнение стороны AB: \( 4\sqrt{13} \).

2. Уравнение высоты CH: Высота проведена из вершины C к стороне AB. Используем формулу для высоты треугольника: \[ CH = \frac{|Ax_1(By_2 - Cy_3) + Bx_2(Cy_3 - Ay_1) + Cx_3(Ay_1 - By_2)|}{2|y_1(By_2 - Cy_3) + y_2(Cy_3 - Ay_1) + y_3(Ay_1 - By_2)|} \]

Подставим координаты вершин: \[ CH = \frac{|(-4)(-6 - 6) + 8(6 - 2) + 2(2 - (-6))|}{2|(2)(-6 - 6) + 6(2 - (-4)) + (-6)((-4) - 8)|} \]

Распространяем вычисления: \[ CH = \frac{|(-4)(-12) + 8(4) + 2(8)|}{2|(2)(-12) + 6(6) + (-6)(-12)|} \] \[ CH = \frac{|48 + 32 + 16|}{2|(-24) + 36 + 72|} \] \[ CH = \frac{|96|}{2|84|} \] \[ CH = \frac{96}{168} \] \[ CH = \frac{8}{14} \] \[ CH = \frac{4}{7} \]

Таким образом, уравнение высоты CH: \( y = \frac{4}{7}x + \frac{22}{7} \).

3. Уравнение медианы AM: Медиана проведена из вершины A к середине стороны BC. Найдем координаты середины BC: \[ M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) \] \[ M\left(\frac{8 + 2}{2}, \frac{(-6) + 6}{2}\right) \] \[ M(5, 0) \]

Теперь уравнение медианы AM проходит через точки A(-4, 2) и M(5, 0). Используем уравнение прямой: \[ AM: y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ AM: y - 2 = \frac{0 - 2}{5 - (-4)}(x - (-4)) \] \[ AM: y - 2 = -\frac{2}{9}(x + 4) \] \[ AM: 9y - 18 = -2(x + 4) \] \[ AM: 9y - 18 = -2x - 8 \] \[ AM: 2x + 9y = 10 \]

Таким образом, уравнение медианы AM: \(2x + 9y = 10\).

4. Точка N - пересечение медианы AM и высоты CH: Решим систему уравнений медианы и высоты: \[ \begin{cases} 2x + 9y = 10 \\ y = \frac{4}{7}x + \frac{22}{7} \end{cases} \]

Подставим уравнение высоты в уравнение медианы: \[ 2x + 9\left(\frac{4}{7}x + \frac{22}{7}\right) = 10 \]

Упростим уравнение: \[ 2x + \frac{36}{7}x + \frac{198}{7} = 10 \] \[ \frac{50}{7}x = \frac{22}{7} \] \[ x = \frac{22}{50} \] \[ x = \frac{11}{25} \]

Теперь найдем y, подставив x в уравнение высоты: \[ y = \frac{4}{7}\left(\frac{11}{25}\right) + \frac{22}{7} \] \[ y = \frac{44}{175} + \frac{22}{7} \] \[ y = \frac{1006}{175} \]

Таким образом, точка N имеет координаты \(\left(\frac{11}{25}, \frac{1006}{175}\right)\).

5. Уравнение прямой, проходящей через C и параллельной AB: Уравнение прямой, параллельной AB и проходящей через C, имеет тот же наклон (наклон стороны AB) и проходит через точку C(2, 6). Используем уравнение прямой: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] где \(m\) - наклон, рав