Question

Даны вершины A(-1;1) B(7;5) C(4;11) Найти: 1)Длину стороны AB; 2)площадь треугольника ABC; 3)уравнение AB; 4)уравнение высоты,проведенной из вершины C; 5)длину высоты,проведенной из вершины С; 6)уравнение медианы,проведенной из вершины С; 7)длину медианы,проведенной из вершины C; 8)уравнение биссектрисы внутреннего угла A; 9)угол A в радианах с точностью до 0,01; 10)точку пересечения высот треугольника; 11)систему неравенств,определяющих треугольник ABC. Сделать чертеж

Answer 1

Даны вершины A(-1;1) B(7;5) C(4;11)

1) Длина стороны AB = √((7+1)² + (5-1)²) = √(64 + 16) =√80 = 4√5;

2) Площадь треугольника ABC. Вектор АВ =(8; 4), вектор АС = (5; 10).

Площадь равна половине модуля векторного произведения АВ на АС:

i      j      k |       i        j

8     4     0 |      8      4

5     10    0 |     5      10  =  0i + 0j + 80k  -0j - 0i - 20k = 60k/

S = (1/2)*60 = 30 кв.ед.

3) Уравнение AB определяем по точке А(-1; 1) и вектору АВ =(8; 4).

(x + 1)/8 = (y - 1)/4    это каноническое уравнение,

у = 0,5х + 1,5   с угловым коэффициентом.

4) Уравнение высоты СН,проведенной из вершины C.

к(СН) = (-1)/к(АВ) = -1/(1/2) = -2.

Уравнение имеет вид у = -2х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки С: 11 = -2*4 + в,  отсюда в = 19.

Уравнение СН: у = -2х + 19

5) Длину высоты,проведенной из вершины С можно определить, найдя координаты точки Н как точки пересечения АВ и СН.

 0,5х + 1,5 = -2х + 19,

2,5х = 17,5,  

х = 17,5/2,5 = 7,   у = 0,5*7 + 1,5 = 5.

Точка Н(7; 5).  

Длина СН = √((7-4)² + (5-11)²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5 ≈ 6,7082.

6) Уравнение медианы СМ,проведенной из вершины С.

Точка М = ((-1+7)/2=3;  (1+5)/2=3) = (3; 3).

Вектор СМ = (3-4=-1; 3-11=-8) = (-1; -8).

Уравнение СМ: (x - 4)/(-1) = (y - 11)/(-8).

7) Длина медианы,проведенной из вершины C равна модулю вектора СМ = √1 + 64) = √65 ≈ 8,0623.

8) Уравнение биссектрисы CC3 внутреннего угла A;  

|АС| = √(25 + 100) = 5√5.    |BС| = √(9 + 36) = 3√5.

λС = АС / ВС = 1,6667.

С₃ = Ха+λС*Хв  Уа+λС*Ув = (4 ; 3,5).

   1+λС              1+λС

Уравнение CC₃   x + y - 4 = 0 .

9) Угол A в радианах с точностью до 0,01.

cos A= АВ²+АС²-ВС²  = 0,8.

           2*АВ*АС    

A = 0,643501109  ≈ 0,64 радиан

A = 36,86989765 градусов

10) Точку  О пересечения высот АН и АА2  треугольника;

Точка пересечения высот - Н      

у = к* х + в АН:

у = 0,5 х + 1,5  

     

у = к* х + в ВВ₂:

у = -0,5 х + 8,5  

Точка О  

x = y =

7 5

11)систему неравенств,определяющих треугольник ABC.

x y    

т.С 4 11 АВ : -30 < 0

т.А -1 1 ВС : -30 < 0

т.В 7 5 АС : 60 > 0

Answer 2

Для решения задачи, давайте последовательно решим каждый пункт:

1. Длина стороны AB: Длина стороны AB вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Длина AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

где (x₁, y₁) = (-1, 1) - координаты точки A (x₂, y₂) = (7, 5) - координаты точки B

Подставляем значения и рассчитываем:

AB = √((7 - (-1))² + (5 - 1)²) AB = √(8² + 4²) AB = √(64 + 16) AB = √80 AB ≈ 8.94

Ответ: Длина стороны AB ≈ 8.94.

2. Площадь треугольника ABC: Для вычисления площади треугольника ABC воспользуемся формулой площади Герона:

Пусть a, b, c - длины сторон треугольника, а s - полупериметр (s = (a + b + c) / 2).

Площадь треугольника ABC = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

где a = AB, b = BC и c = AC (стороны треугольника).

Подставляем известные значения:

AB = 8.94 (рассчитано в пункте 1) BC = ?

BC - это длина стороны BC, которую мы вычислим аналогично пункту 1, только используя координаты точек B и C:

BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)

где (x₃, y₃) = (4, 11) - координаты точки C

BC = √((4 - 7)² + (11 - 5)²) BC = √((-3)² + 6²) BC = √(9 + 36) BC = √45 BC ≈ 6.71

Теперь можем рассчитать полупериметр и площадь:

s = (AB + BC + AC) / 2 = (8.94 + 6.71 + AC) / 2

Площадь ABC = √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)) = √(s * (s - 8.94) * (s - 6.71) * (s - AC))

3. Уравнение AB: Уравнение прямой, проходящей через точки A(-1, 1) и B(7, 5), можно найти, используя общую формулу уравнения прямой y = mx + b, где m - это угловой коэффициент, а b - точка пересечения прямой с осью y (то есть значение y при x = 0).

Сначала найдем угловой коэффициент m:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) m = (5 - 1) / (7 - (-1)) m = 4 / 8 m = 0.5

Теперь, чтобы найти b, используем точку A(-1, 1):

1 = 0.5 * (-1) + b 1 = -0.5 + b b = 1 + 0.5 b = 1.5

Таким образом, уравнение AB: y = 0.5x + 1.5

4. Уравнение высоты, проведенной из вершины C: Высота, проведенная из вершины C, будет перпендикулярна стороне AB и проходить через точку C(4, 11). Чтобы найти уравнение этой высоты, нам нужно найти уравнение прямой, которая проходит через точку C и перпендикулярна AB.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен -1/m, где m - угловой коэффициент прямой AB.

m_AB = 0.5 (рассчитано в пункте 3) m_высоты = -1 / m_AB = -1 / 0.5 = -2

Теперь, чтобы найти точку пересечения с осью y (b), используем точку C(4, 11):

11 = -2 * 4 + b 11 = -8 + b b = 11 + 8 b = 19

Таким образом, уравнение высоты, проведенной из вершины C: y = -2x + 19

5. Длина высоты, проведенной из вершины C: Длина высоты из вершины C будет равна расстоянию от точки C(4, 11) до точки пересечения высоты с стороной AB. Для этого найдем точку пересечения высоты с помощью системы уравнений AB и высоты (проведенной из C).

y = 0.5x + 1.5 (уравнение AB) y = -2x + 19 (уравнение высоты)

0.5x + 1.5 = -2x + 19

2.5x = 19 - 1.5 2.5x = 17.5 x = 17.5 / 2.5 x = 7

Теперь найдем значение y, подставив x в уравнение AB:

y = 0.5 * 7 + 1.5 y = 3.5 + 1.5 y =