Question

Даны вершины А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3) треугольника. Найти: 1. Длину стороны АВ; 2. Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 3. Уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4. Уравнение медианы проведенной через вершину С; 5. Точку пересечения высот треугольника; 6. Длину высоты, проведенной через вершину С 7. Сделать чертеж. А(14;-1), В(6;5), С(7;0)

Answer 1

Даны вершины треугольника: А(14; -1), В(6; 5), С(7; 0) .

Найти:

1. Длину стороны АВ. Вектор АВ = (6-14; 5-(-1)) = (-8; 6).

|АВ| =  √((-8)² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

2. Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01.

Вектор АC = (7-14; 0-(-1)) = (-7; 1).

|АC| =  √((-7)² + 1²) = √(49 + 1) = √50 = 5√2.

cos A = (-8*(-7) + 6*1)/(10*5√2) = 62/(50√2) = 31√2/50 ≈ 0,876812.

A = 0,50160 радиан ,

A = 28,7398 градусов .

3. Уравнение высоты, проведенной через вершину С.

Это перпендикуляр СН к стороне АВ. Вектор АВ = (-8; 6).

Уравнение АВ: (x - 14)/(-8) = (y + 1)/6 или в общем виде: 3x + 4y - 38 = 0.

У перпендикуляра коэффициенты А и В меняются на -В и А.

Уравнение СН: -4x + 3y + C = 0. Подставим координаты точки С.

-4*7 + 3*0 + С = 0, отсюда С = 28.

Уравнение СН: -4x + 3y + 28 = 0.

4. Уравнение медианы проведенной через вершину С.

Медиана СМ. Точка М - середина АВ.

М = ((14+6)/2; (-1+5)/2) = (10; 2).

Вектор СМ = (10-7; 2-0) = (3; 2).

Уравнение СМ: (x - 7)/3 = y /2 или в общем виде 2х - 3у - 14 = 0.

5. Точку пересечения высот треугольника;

Уравнение СН: -4x + 3y + 28 = 0. Аналогично находим высоту из вершины А:

у = к* х + в

у = 0,2 х + -3,8   или 10х - 50у - 19 = 0.

Решая совместно 2 уравнения, находим координаты точки их пересечения:

Точка К:  

         x                              y

4,882352941     -2,823529412 .

6. Длину высоты, проведенной через вершину С.

Находим площадь  треугольника ABC:      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 17.

h = 2S/|AB| = 2*17/ 10 = 3,4.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из пунктов по очереди:

1. Длина стороны AB: Используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) AB = √((6 - 14)² + (5 - (-1))²) AB = √((-8)² + (6)²) AB = √(64 + 36) AB = √100 AB = 10

2. Внутренний угол А в радианах: Для нахождения угла в радианах можно использовать обратную тригонометрическую функцию тангенса: tg(А) = |(y2 - y1) / (x2 - x1)| tg(А) = |(5 - (-1)) / (6 - 14)| tg(А) = |6 / (-8)| tg(А) = |-3/4|

   Теперь найдем угол в радианах: А = arctan(|-3/4|) А ≈ 0.6435 радиан (с точностью до 0,01).

3. Уравнение высоты, проведенной через вершину C: Высота проведенная из вершины C будет перпендикулярной стороне AB и проходящей через вершину C. Уравнение прямой в общем виде имеет вид: y = kx + b, где k - коэффициент наклона, b - y-перехват.

   Сначала найдем коэффициент наклона k. Так как высота перпендикулярна стороне AB, то k будет равен -1/k_AB, где k_AB - коэффициент наклона стороны AB. Вы уже знаете, что AB = 10, а координаты вершин A и B известны, поэтому k_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1): k_AB = (5 - (-1)) / (6 - 14) = 6 / (-8) = -3/4

   Теперь найдем координаты вершины C (x3, y3): x3 = 7, y3 = 0

   Теперь, используя формулу y = kx + b, подставим известные значения и найдем b: 0 = (-3/4) * 7 + b 0 = -21/4 + b b = 21/4

   Таким образом, уравнение высоты, проведенной через вершину C, будет: y = (-3/4)x + 21/4

4. Уравнение медианы, проведенной через вершину C: Медиана, проведенная из вершины C, делит сторону AB пополам, и ее точка пересечения с AB будет иметь координаты средней точки между A и B. Найдем среднюю точку:

   x_m = (x1 + x2) / 2 = (14 + 6) / 2 = 10 y_m = (y1 + y2) / 2 = (-1 + 5) / 2 = 2

   Таким образом, точка M(10, 2) лежит на медиане, проведенной из C. Уравнение медианы можно записать в виде: y = k_m*x + b_m, где k_m - коэффициент наклона медианы, b_m - y-перехват медианы.

   Теперь найдем k_m, который равен отношению изменения y к изменению x между вершиной C и точкой M: k_m = (y_m - y3) / (x_m - x3) = (2 - 0) / (10 - 7) = 2/3

   Теперь найдем b_m, подставив значения C и M: 2 = (2/3)*10 + b_m 2 = 20/3 + b_m

   b_m = 2 - 20/3 b_m = 6/3 - 20/3 b_m = -14/3

   Уравнение медианы будет: y = (2/3)x - 14/3

5. Точка пересечения высот треугольника: Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Для нахождения ортоцентра, нужно найти точку пересечения всех трех высот. Это можно сделать с помощью системы уравнений, но можно воспользоваться готовой формулой для ортоцентра:

   H(x_h, y_h) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)

   Подставим координаты вершин: x_h = 14 + 6 + 7 = 27 y_h = (-1) + 5 + 0 = 4

   Ортоцентр H имеет координаты (27, 4).

6. Длина высоты, проведенной через вершину C: Для вычисления длины высоты можно использовать формулу для расстояния между точками. Высота, проведенная из вершины C, перпендикулярна стороне AB и проходит через вершину C. Для нахождения длины высоты, нам нужно найти расстояние между вершинами C и точкой пересечения высот. Мы уже нашли координаты ортоцентра H, которые равны (27, 4).

   Длина высоты HC будет равна расстоянию между точкой C и ортоцентром H: HC = √((x_h - x3)² + (y_h - y3)²) HC = √((27 - 7)² + (4 - 0)²) HC = √(20² + 4²) HC = √(400 + 16) HC = √416 HC ≈ 20.4 (с точностью до 0,01).

7. Сделать чертеж: К сожалению, я не могу создавать графические изображения, так как это текстовый интерфейс. Однако вы можете легко нарисовать треугольник и провести в нем высоты, учитывая координаты вершин A(14,-1), B(6,5) и C(7,0), а также найденные точки пересечения высот и ортоцентр на листе бумаги или в графическом редакторе.