Question

Даны координаты вершины треугольника А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3). Найти: длину стороны АВ; уравнения сторон треугольника; внутренний угол при вершине А; уравнение высоты проведенной через вершину С; уравнение медианы проведенной через вершину В; точку пересечения высот; площадь треугольника АВС. А(-4;2) В(0;-1) С(3;3)

Answer 1

|AB|=√((0-(-4))^2+(-1-2)^2=√16+9=√25=5
уравнение AB:
x+4/4=y-2/-3
-3(x+4)=4(y-2)
-3x-12=4y-8
3x+12+4y-8=0
3x+4y+4=0
BC:
x/3=y+1/4
4x=3(y+1)
4x=3y+3
4x-3y-3=0
AC:
x+4/7=y-2/1
x+4=7y-14
x-7y+4+14=0
x-7y+18=0
Внутренний угол при вершине A:
AB(4;-3)
AC(7;1)
|AC|=√49+1=√50=5√2
cos(AB^AC)=28-3/5*5√2=25/25√2=1/√2=45 градусов
Чтобы найти уравнение высоты, проведенный через вершину С, надо найти середину отрезка AB. Высоту обозначим CH.
Отсюда видим,что H - середина отрезка AB:
xh=-4+2/2=-2/2=-1
yh=2-1/2=1/2=0.5
⇒H(-1;0.5)
Находим уравнение высоты CH:
C(3;3)
H(-1;0.5)
x-3/-1-3=y-3/0.5-3
x-3/-4=y-3/-2.5
-2.5(x-3)=-4(y-3)
-2.5x+7.5=-4y+12
2.5x+4y+12-7.5=0
2.5x+4y+4.5=0
Для медианы находим середину отрезка AC:
Медиана BM:
xm=-4+3/2=-1/2=-0.5
ym=2+3/2=5/2=2.5
⇒M(-0.5;2.5)
B(0;-1)
Находим уравнение медианы BM:
x+0.5/0.5=y-2.5/-3.5
-3.5(x+0.5)=0.5(y-2.5)
-3.5x-1.75=0.5y-12.5
3.5x+0.5y+1.75-12.5=0
3.5x+0.5y-10.75=0
Чтобы найти точку пересечения высот надо найти либо середину медианы BM, либо середину высоты CH:
Я найду середину CH:
C(3;3)
H(-1;0.5)
Пусть точка N(xn;yn) - середина CH, тогда:
xn=3-1/2=2/2=1
yn=3+0.5/2=3.5/2=1.75
N(1;1.75)
S=1/2AB*AC
S=5*5√2/2=25/2/2=12.5√2 ед^2

Answer 2

Длина стороны AB

Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставим значения координат точек A(-4, 2) и B(0, -1) в формулу:

d = sqrt((0 - (-4))^2 + (-1 - 2)^2) = sqrt(4^2 + (-3)^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5

Таким образом, длина стороны AB равна 5.

Уравнения сторон треугольника

Уравнения сторон треугольника можно записать, используя координаты вершин A, B и C.

Уравнение стороны AB: Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, воспользуемся формулой:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставим значения координат точек A(-4, 2) и B(0, -1) в формулу:

y - 2 = ((-1 - 2) / (0 - (-4))) * (x - (-4))

Упростим выражение:

y - 2 = (-3 / 4) * (x + 4)

Уравнение стороны AB: y = (-3 / 4) * x + 5

Аналогично найдем уравнения сторон BC и AC.

Уравнение стороны BC: Подставим значения координат точек B(0, -1) и C(3, 3) в формулу:

y - (-1) = ((3 - (-1)) / (3 - 0)) * (x - 0)

Упростим выражение:

y + 1 = (4 / 3) * x

Уравнение стороны BC: y = (4 / 3) * x - 1

Уравнение стороны AC: Подставим значения координат точек A(-4, 2) и C(3, 3) в формулу:

y - 2 = ((3 - 2) / (3 - (-4))) * (x - (-4))

Упростим выражение:

y - 2 = (1 / 7) * (x + 4)

Уравнение стороны AC: y = (1 / 7) * x + 2

Внутренний угол при вершине A

Для нахождения внутреннего угла при вершине A воспользуемся формулой:

tan(α) = |m1 - m2| / (1 + m1 * m2)

Где m1 и m2 - угловые коэффициенты прямых AB и AC соответственно.

Угловой коэффициент прямой AB равен -3/4, а прямой AC равен 1/7.

Подставим значения в формулу:

tan(α) = |-3/4 - 1/7| / (1 + (-3/4) * (1/7))

Упростим выражение:

tan(α) = |-27/28| / (1 - 3/28)

tan(α) = 27/53

Находим угол α, используя обратную функцию тангенса:

α = arctan(27/53)

Вычисляем значение угла α:

α ≈ 27.89°

Таким образом, внутренний угол при вершине A равен примерно 27.89°.

Уравнение высоты, проведенной через вершину C

Для нахождения уравнения высоты, проведенной через вершину C, нам понадобится уравнение, перпендикулярное стороне AB и проходящее через точку C.

Уравнение высоты можно записать, используя координаты вершин A, B и C.

Уравнение стороны AB: y = (-3 / 4) * x + 5

Уравнение высоты, проведенной через вершину C, будет перпендикулярно стороне AB и проходить через точку C(3, 3).

Уравнение перпендикулярной прямой можно записать в виде:

y - y1 = -1 / m * (x - x1)

Где (x1, y1) - координаты точки C и m - угловой коэффициент стороны AB (-3/4).

Подставим значения в формулу:

y - 3 = -1 / (-3/4) * (x - 3)

Упростим выражение:

y - 3 = 4/3 * (x - 3)

Уравнение высоты, проведенной через вершину C: y = 4/3 * x - 1

Уравнение медианы, проведенной через вершину B

Для нахождения уравнения медианы, проведенной через вершину B, нам понадобится уравнение, проходящее через середину стороны AC и точку B.

Уравнение медианы можно записать, используя координаты вершин A, B и C.

Уравнение стороны AC: y = (1 / 7) * x + 2

Середина стороны AC можно найти как среднее арифметическое координат точек A и C:

x = (x1 + x3) / 2 y = (y1 + y3) / 2

Подставим значения координат точек A(-4, 2) и C(3, 3) в формулу:

x = (-4 + 3) / 2 = -1 / 2 y = (2 + 3) / 2 = 5 / 2

Таким образом, середина стороны AC имеет координаты (-1/2, 5/2).

Уравнение медианы, проведенной через вершину B, будет проходить через точку B(0, -1) и середину стороны AC (-1/2, 5/2).

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно записать в виде:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Где (x1, y1) - координаты точки B, (x2, y2) - координаты середины стороны AC.

Подставим значения в формулу:

y - (-1) = ((5/2 - (-1)) / (-1/2 - 0)) * (x - 0)

Упростим выражение:

y + 1 = (7/2) * x

Уравнение медианы, проведенной через вершину B: y = (7/2) * x - 1

Точка пересечения высот

Для нахождения точки пересечения высот треугольника, нам пон