Question

Исследовать функцию с помощью её производной и построить её график. Пошаговые действия. y=6x^3-3x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Хорошо, давайте исследуем функцию y = 6x^3 - 3x^2 с помощью её производной и построим её график пошагово. Для начала найдём производную функции, а затем проанализируем критические точки, экстремумы и выпуклость функции.

Шаг 1: Найдём производную функции y = 6x^3 - 3x^2. Для этого возьмем производные от каждого члена функции по отдельности: y' = d/dx (6x^3) - d/dx (3x^2)

Производные мономов можно найти по правилу степенной функции: d/dx (x^n) = n*x^(n-1)

Применяя это правило, получим: y' = 3 * 6x^(3-1) - 2 * 3x^(2-1) y' = 18x^2 - 6x

Шаг 2: Найдём критические точки, приравняв производную к нулю и решим уравнение: 18x^2 - 6x = 0

Выносим общий множитель: 6x(3x - 1) = 0

Таким образом, получаем два значения x:

1. 6x = 0 => x = 0
2. 3x - 1 = 0 => 3x = 1 => x = 1/3

Шаг 3: Найдём значения y для найденных критических точек: Для x = 0: y = 6 * 0^3 - 3 * 0^2 = 0

Для x = 1/3: y = 6 * (1/3)^3 - 3 * (1/3)^2 = 6 * (1/27) - 3 * (1/9) = 2/3 - 1/3 = 1/3

Таким образом, имеем две критические точки: (0, 0) и (1/3, 1/3).

Шаг 4: Анализ выпуклости функции. Для этого найдем вторую производную функции: y'' = d/dx (18x^2 - 6x)

Производные мономов по-прежнему применимы: y'' = 2 * 18x^(2-1) - 6 y'' = 36x - 6

Шаг 5: Найдем значения y'' для критических точек и произвольной точки между ними, например, x = 1.

Для x = 0: y''(0) = 36 * 0 - 6 = -6 (отрицательное значение)

Для x = 1/3: y''(1/3) = 36 * (1/3) - 6 = 12 (положительное значение)

Для x = 1: y''(1) = 36 * 1 - 6 = 30 (положительное значение)

Шаг 6: Построение графика функции.

Теперь, когда у нас есть достаточно информации, чтобы нарисовать график функции, можно использовать все найденные данные.

На графике будут отмечены критические точки (0, 0) и (1/3, 1/3) и произвольная точка (1, 30), а также будет учтена информация о выпуклости функции.

(Please note that I'm unable to draw the graph directly as a text-based AI. However, you can plot the function using various graphing tools or software by using the equation y = 6x^3 - 3x^2 and marking the critical points and points of interest based on the analysis above.)