Question

Решите неравенство: (2х^2-6х)/х-4 меньше или равно 0 Подробно!

Answer 1

$\frac{2x^2-6x}{x-4}\leq0\\\\OD3:\ x\neq4\\\\2x^2-6x=0\\2x(x-3)=0\\\\2x\leq0\\x-3\leq0\\\\x\leq0\\x\leq3$

Ответ: х∈(-∞; 0]∪[3; 4).

Answer 2

Для решения неравенства сначала найдем все точки, где выражение в знаменателе равно нулю, так как в таких точках неравенство может изменить свой знак.

Итак, для неравенства $(2x^2 - 6x)/(x - 4) \leq 0$, заметим, что знаменатель $(x - 4)$ должен быть отличен от нуля, чтобы избежать деления на ноль. Поэтому мы можем исключить $x = 4$ из допустимого множества значений.

Теперь разберемся с числителем $(2x^2 - 6x)$. Нам нужно определить интервалы, на которых он положителен и отрицателен. Для этого решим уравнение:

$2x^2 - 6x = 0$

Факторизуем его:

$2x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x = 0$ и $x = 3$.

Теперь построим таблицу знаков для каждого из трех интервалов, образованных этими корнями и исключением $x = 4$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & ( -\infty, 0 ) & (0, 3) & (3, 4) & (4, \infty) \\ \hline x - 4 & - & - & - & + \\ \hline 2x^2 - 6x & - & + & + & + \\ \hline \frac{2x^2 - 6x}{x - 4} & + & - & - & + \\ \hline \end{array}$$

Теперь мы видим, что $\frac{2x^2 - 6x}{x - 4} \leq 0$ на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(3, 4)$. Однако, нам нужно учесть, что $x = 4$ не входит в допустимые значения, так как деление на ноль недопустимо.

Таким образом, решение неравенства состоит из объединения двух интервалов:

$x \in (-\infty, 0] \cup (3, 4)$

Или, если записать в виде неравенства:

$x \leq 0 \text{ или } (3 < x < 4)$