Question

В комнате находится 10 человек; каждый из них имеет номер от 1 до 10. Наудачу выбирается 3 человека, они покидают комнату, и их номера записывают. а) Какова вероятность того, что минимальный номер равен 5? б) Какова вероятность, что максимальный номер равен 5?

Answer 1

Количество общих исходов $C^3_{10}=\dfrac{10!}{3!\cdot (10-3)!}=\dfrac{10!}{3!\cdot 7!}=120$

Подсчитаем количество благоприятных исходов:

a) Три человека покинули комнату и их номера записывают, подсчитаем сколько таких вариантов, таковы что минимальный номера равен 5

$\{5;6;7\},~\{5;6;8\},~\{5;6;9\},~\{5;6;10\},~\{5;7;8\},~\{5;7;9\},~\{5;7;10\},~\\ \\ \{5;8;9\},~\{5;8;10\},~\{5;10;9\}$

Таких вариантов 10. Поэтому вероятность того, что минимальный номер равен 5, равна $P=\dfrac{10}{120}=\dfrac{1}{12}$

б) Аналогично подсчитаем количество вариантов, что максимальный номер равен 5

$\{5;1;2\},~\{5;1;3\},~\{5;1;4\},~\{5;2;3\},~\{5;2;4\},~\{5;3;4\}$

Таких вариантов всего 6. Вероятность того, что максимальный номер равен 5, равна $p=\dfrac{6}{120}=\dfrac{1}{20}$

Answer 2

Решение и ответ во вложении

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторикой и правилами вероятности.

а) Какова вероятность того, что минимальный номер равен 5?

Для того чтобы минимальный номер равнялся 5, один из трех выбранных людей должен иметь номер 5, а двое других должны иметь номера больше 5 (6, 7, 8, 9 или 10). Рассмотрим количество способов выбрать такие 3 номера:

1. Выбор человека с номером 5: 1 способ
2. Выбор человека с номером больше 5: 5 способов (6, 7, 8, 9 и 10)
3. Выбор еще одного человека с номером больше 5: 4 способа (остается 4 человека с номерами 6, 7, 8 и 9)

Общее количество способов выбрать 3 человека из 10:

C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120

Таким образом, вероятность того, что минимальный номер равен 5:

P(минимальный номер равен 5) = (1 * 5 * 4) / 120 = 20 / 120 = 1 / 6 ≈ 0.1667

б) Какова вероятность, что максимальный номер равен 5?

Для того чтобы максимальный номер равнялся 5, один из трех выбранных людей должен иметь номер 5, а двое других должны иметь номера меньше 5 (1, 2, 3 или 4). Рассмотрим количество способов выбрать такие 3 номера:

1. Выбор человека с номером 5: 1 способ
2. Выбор человека с номером меньше 5: 4 способа (1, 2, 3 и 4)
3. Выбор еще одного человека с номером меньше 5: 3 способа (остается 3 человека с номерами 1, 2 и 3)

Общее количество способов выбрать 3 человека из 10:

C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120

Таким образом, вероятность того, что максимальный номер равен 5:

P(максимальный номер равен 5) = (1 * 4 * 3) / 120 = 12 / 120 = 1 / 10 = 0.1